МАТЕМАТИКА. Прикладная математика.
Канд. фіз.-мат. наук Саженюк В.
С.
Київський національний университет ім. Тараса Шевченко, Україна
Чисельний метод реалізації моделі оптимального керування фінансовими ресурсами
В доповіді досліджується математична
модель задачи керування інвестуванням у фінансові інструменти с точки
зору чисельного методу розв”язування отриманої математичної задачі. У загальному випадку математична постановка задачі являє собою
задачу пошуку екстремуму функціонала при додаткових обмеженях. У деяких випадках
відповідна екстремальна задача може
бути записана у вигляді варіаційної
нерівності з обмеженням у середені області визначення та квазілінійним строго
монотонним, коерцитивним, неперервним оператором зі змінними коефіцієнтами [1].
Нехай - паралелепіпед а
- бокова поверхня
, де
– прямокутник з границею
. Введемо у розгляд оператор
.
Тоді, мінімум функціоналу витрат є
розв”язком варіаційної нерівності
,
,
,
(1)
,
,
,
.
де ,
,
(2)
Для побудови чисельного методу розв”язування задач
(1) застосуємо методи штрафу та сіток. Задача зі штрафом,
асоційована з задачею (1), має вигляд:
знайти
функцію таку, що
,
,
,
,
, (3)
,
.
Відомо [1] , що при виконані умов (2) . Справедлива [1,2]
наступна теорема.
Теорема
1. Нехай виконуються умови
(2). Розв’язок задачі (3) збігається
при до розв’язку задачі
(1), при чому має місце оцінка
,
(тут і надалі через позначені додатні
сталі, які не залежать від
,
та
).
Позначимо . Задачу зі штрафом
(3) перепишемо у наступному вигляді
, (4)
,
,
,
.
Легко бачити, що для функції виконуються умови
:
. У
прямокутнику
введемо рівномірну
сітку
, де
- множина внутрішніх, а
- множина граничних
вузлів відповідно. Позначимо:
,
,
Апроксимуємо задачу (5) неявною різницевою схемою:
(5)
,
,
,
,
– полі лінійне по
та кусково-стале по
поповнення сіткової
функції
.
В силу монотонності функції
=
.
Крім того , очевидна тотожність
. Використовуючи це та метод енергетичних нерівностей, можна
отримати апріорну оцінку
,
з якої випливає стійкість різницевої схеми (5)
за початковими даними та правою частиною. Дослідимо збіжність послідовності
розв”язків різницевої схеми при . Справедлива
наступна теорема.
Теорема
2. Нехай виконуються умови
(2). Тоді розв’язок різницевої задачі (5) збігається при до розв’язку задачі
зі штрафом (4) , при цьому має місце оцінка :
,
де
З теореми 1 та теореми 2 випливає теорема 3.
Теорема
3. Розв’язок різницевої схеми
(5) () збігається при
до задачі (1), при
цьому має місце оцінка
.
Література:
1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л.
Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с франц. – М.:
Наука, 1987. – 600с.
2. Саженюк В.
С., Черній Д. І., Риженкo А. І. Обгрунтування методу сіток для параболічних варіаційних нерівностей другого
порядку з обмеженням усередині області.- Вісник Київського університету,
Серія: фіз.-мат. науки. N 3, 2006, с.176-180.