МАТЕМАТИКА. Прикладная математика.

Канд. фіз.-мат. наук Саженюк В. С.

Київський національний университет ім. Тараса Шевченко, Україна

Чисельний метод реалізації моделі оптимального керування фінансовими ресурсами

В доповіді досліджується математична модель задачи керування інвестуванням у фінансові інструменти с точки зору чисельного методу розв”язування отриманої математичної задачі. У загальному випадку математична постановка задачі являє собою задачу пошуку екстремуму функціонала при додаткових обмеженях. У деяких випадках відповідна екстремальна задача може бути записана у вигляді варіаційної нерівності з обмеженням у середені області визначення та квазілінійним строго монотонним, коерцитивним, неперервним оператором зі змінними коефіцієнтами [1].

Нехай - паралелепіпед а - бокова поверхня , де – прямокутник з границею . Введемо у розгляд оператор

.

Тоді, мінімум функціоналу витрат є розв”язком варіаційної нерівності

, ,

, (1)

, ,

, .

де , ,

(2)

Для побудови чисельного методу розв”язування задач (1) застосуємо методи штрафу та сіток. Задача зі штрафом, асоційована з задачею (1), має вигляд:

знайти функцію таку, що ,

, ,

, , (3)

, .

Відомо [1] , що при виконані умов (2) . Справедлива [1,2] наступна теорема.

Теорема 1. Нехай виконуються умови (2). Розв’язок задачі (3) збігається при до розв’язку задачі (1), при чому має місце оцінка

,

(тут і надалі через позначені додатні сталі, які не залежать від , та ).

Позначимо . Задачу зі штрафом (3) перепишемо у наступному вигляді

, (4)

, , , .

Легко бачити, що для функції виконуються умови :

. У прямокутнику введемо рівномірну сітку , де - множина внутрішніх, а - множина граничних вузлів відповідно. Позначимо:

, ,

Апроксимуємо задачу (5) неявною різницевою схемою:

(5)

, ,

, ,

– полі лінійне по та кусково-стале по поповнення сіткової функції .

В силу монотонності функції

=.

Крім того , очевидна тотожність . Використовуючи це та метод енергетичних нерівностей, можна отримати апріорну оцінку

,

з якої випливає стійкість різницевої схеми (5) за початковими даними та правою частиною. Дослідимо збіжність послідовності розв”язків різницевої схеми при . Справедлива наступна теорема.

Теорема 2. Нехай виконуються умови (2). Тоді розв’язок різницевої задачі (5) збігається при до розв’язку задачі зі штрафом (4) , при цьому має місце оцінка :

,

де

З теореми 1 та теореми 2 випливає теорема 3.

Теорема 3. Розв’язок різницевої схеми (5) () збігається при до задачі (1), при цьому має місце оцінка

.

Література:

1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с франц. – М.: Наука, 1987. – 600с.

2. Саженюк В. С., Черній Д. І., Риженкo А. І. Обгрунтування методу сіток для параболічних варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області.- Вісник Київського університету, Серія: фіз.-мат. науки. N 3, 2006, с.176-180.