Мун Д.Е.

г. Хабаровск, д.э.н., профессор, гл. н. с. Проблемной научно-исследовательской лаборатории Хабаровской государственной академии экономики и права

Производственная функция с переменными параметрами – эффективный инструмент повышения точности экономических расчетов

Моделирование экономических процессов с помощью производственных функций (ПФ) с постоянными параметрами сталкивается как с проблемами выбора ПФ, так и с проблемой точности моделирования. Несовершенство традиционных методов выбора и оценивания ПФ сдерживает их широкое применение в экономических исследованиях. В зависимости от выбранного вида ПФ будут получены различные числовые характеристики одного и того же экономического процесса. Так, у линейной ПФ предельная эффективность постоянная, эластичность выпуска переменная, а эластичность замещения производственных факторов равна бесконечности. В случае же степенной ПФ эти характеристики соответственно являются переменной, постоянной и равной единице. Что касается средних эффективностей факторов, то они совпадают для всех видов ПФ. Все сказанное справедливо для ПФ с постоянными параметрами. Переход к разработанным автором ПФ с переменными параметрами позволяет не только решить проблему выбора ПФ в моделировании, но и позволяет значительно повысить точность расчетов.

Параметры в традиционных производственных функциях линейной

Y=A^*+a·K+b·L (1)

и степенной Кобба-Дугласа (Cobb-Douglas)

Y=A·K^a·L^b (2)

предполагаются постоянными. Непосредственное их сравнение невозможно, поскольку предельные производительности a и b линейной ПФ являются величинами размерными, а эластичности a и b степенной ПФ - относительными. Параметры функций (1) и (2) будут соизмеримыми, если характеристики линейной функции будут оценены по формулам:

a*=a· = a· , b*=b· = b·, n^* =(a^*+b^*) , A*=(1-n^*)·, (3)

= , =, =.

Соотношение для A* ПФ (1) следует из метода наименьших квадратов (МНК):

=A^*+ a·+b·= A^*+n^*·. (4)

Если степень однородности функции равна единице

n^* =(a^*+ b^*) =1, (5)

A^*=(1-n^*)·=0. (6)

Следовательно, ПФ (1) и (2) с учетом (5) и (6) преобразуются к виду:

Y=a·K+b·L; (7)

Y=A·K^a·L^1-a; (8)

; (9)

. (10)

Эластичности факторов ПФ (7), (9) и (10) определяются по формулам:

a*= a· , b*= b·=1-a*. (11)

Таблица 1. Параметры статических ПФ США (1) и (2)

Период	Y=A^*+a·K+b·L					Y=A·K^a·L^b
	A^*	a	b	a^*= a·	b^*= b·	lnA	a	b
1987-2004	585,64	1,466	9,689	0,687	0,243	2,32	0,731	0,124

Сравнение соответствующих факторных коэффициентов эластичности функций (1) и (2), а также (7), (9), (10) по формулам (3) и (11) указывает на их близость. Например, параметры a^*=0,687 и b^*=0,243 ПФ (1) США близки аналогичным параметрам a=0,731 и b=0,124 функции (2) (табл. 1). Близость характеристик линейной и степенной ПФ усиливается в случае линейных однородных ПФ (9) и (10): a^*=0,663; b^*=0,337; a= 0,669; b=0,331 (табл. 2).

В действительности все характеристики степенной ПФ в результате влияния неучтенных факторов являются переменными:

Y_t=A_t·K_t^a(t)·L_t^{b( t)} . (12)

Таблица 2. Параметры статических ПФ США (7), (9) и (10) (n =(a+b) =1)

Период				Y=a·K+b·L
	a	b	a^*= a·	a	b	a^*= a·	lnA	a
1987-2004	1,413	13,452	0,663	1,405	13,607	0,659	1,728	0,669

Из расхождений соответствующих параметров статических ПФ, обусловленных различием в гипотезах о постоянстве параметров этих функций, следует вывод об эквивалентности характеристик ПФ с переменными параметрами. Указанная эквивалентность позволяет по оценкам A_t, a_t=a(t), b_t=b(t) степенной ПФ (12) определить переменные параметры линейной ПФ:

a_t=a_t·, b_t=b_t· , A_t^*=(1–n_t)·Y_t , n_t=(a_t+b_t). (13)

Соотношение для A_t^* следует из теоремы Эйлера:

Y_t=A_t^*+a_t·K_t+b_t·L_t , A_t^*=(1-n_t)·Y_t . (14)

Для ПФ с переменными параметрами эластичность замещения s^(t) так же, как и предельная норма h, совпадает и является переменной:

s^(t)== , p_t=.

Таким образом, гипотеза о переменности параметров позволяет преодолеть ограниченность статических ПФ, эластичности замещения которых не являются переменными.

Процесс оценивания параметров А₀, α₀ и β₀ степенной ПФ (12) состоит в переходе от ПФ (12) с переменными параметрами А_t, α_t и β_t к ПФ с постоянными параметрами А₀, α₀ и β₀ и переменным годовым темпом прироста продукции за счет технического прогресса и других неучтенных факторов:

(15)

(16)

Числитель правой части (16) характеризует фактический объем продукции в момент t, а знаменатель Y_t^баз(0)= - объем продукции, который был бы получен в году t при сохранении эффективности производства на уровне базового года t=0. Тогда величина характеризует базовый темп роста эффекта производства в момент t относительно эффективности производства года t=0.

С учетом обозначения Y_t^баз(0)=выражение (15) примет вид:

Y_t= Y_t^баз(0)×_.

Следовательно, при неизменности эффекта производства, т.е. при =1, фактический объем продукции Y_t будет совпадать с величиной Y_t^баз(0).

Соотношение (16) позволяет определить переменную величину Q_t в произвольные моменты времени t. В частности, при t=0 имеем:

Q₀ = 0. (17)

Это условие равносильно тому, что в момент t=0 эффективность производства равна единице, т.е. =1_. Эффект же производства в произвольные моменты времени t изменяется относительно "единичной" эффективности базового года t=0. Например, =1,5 означает, что эффект производства в момент t увеличился в 1,5 раза относительно эффективности базового года t=0.

Соотношение (17) для базового года позволяет представить величину Q_t в виде суммы годовых приростов DQ_t:

Q_t=DQ₁+DQ₂+…+DQ_t=Q_t-1+DQ_t. (18) Продифференцировав (15) по времени и преобразовав, получим:

= a₀×+ b₀× + DQ_t . (19)

Прологарифмировав (15) и просуммировав обе части (19), получим с учетом соотношения (17) следующие выражения:

lnY_t = lnA₀ + a₀×ln K_t +b₀×lnL_t + Q_t , (20)

y(1,t) = a₀×k(1,t) +b₀×l(1,t) + Q_t , (21)

y(1,t) = , k(1,t) =, l(1,t) = . (22)

Исключив из (20) и (21) величину Q_t , имеем:

ln(Y_t× e^{- y(1,t)}) = lnA₀ +a₀×ln(K_t ×e^{- k(1,t)})+ b₀×ln (L_t ×e^{- l(1,t)}) + e_t. (23)

Следовательно, оценка методом наименьших квадратов параметров A₀, a₀ , b₀ ПФ (15) возможна только после проведенных преобразований из (11). Аналогичным образом можно оценить переменные параметры A_t,a_t , b_t ПФ (12). Данный метод позволяет уменьшить число оцениваемых параметров и, тем самым, повысить устойчивость получаемых оценок.

После оценивания переменных параметров ПФ (12) для определения величины Q_t необходимо воспользоваться формулой (16). В качестве величины влияния неучтенных факторов можно принять величину Q_t из (21):

Q_t^* =y(1,t) – (a₀×k(1,t)+ b₀ ×l(1,t)). (24)

Подставив в (15) значение Q_t^* вместо Q_t , определим расчетное значение

(25)

Таблица 3. Параметры динамических ПФ США (15) и (26) (n=a₀+b₀=1)

Период	Yt=A0·Kt^a(^0^)·Lt^1-^a(^0^)·e^Q(^t^)			Yt/Lt=A·(Kt/Lt)^a^(0)·e^l×^t
	lnA0	a0	b0=1-a0	lnA	a0	l
1987-2004	2,147	0,503	0,497	2,456	0,397	0,008

^{В таблице 3 приведены результаты оценивания модифицированной ПФ (15) и традиционной динамической ПФ Кобба-Дугласа}

Y^*=A·K^a·L^b·e^l×t. (26)

Очень важно правильно учитывать влияние технического прогресса на экономический рост, так как это влияет на точность экономического анализа и прогнозирования. Для США в течение 1987-2004 гг. гипотеза динамической ПФ Кобба-Дугласа в целом выполнялась, поскольку динамика Q_t^* имела тенденцию роста на протяжении почти всего периода (рис. 1).

^{Точность вычислений с применением модифицированной ПФ (15) намного выше точности традиционных ПФ (табл. 4). Так, наибольшее отклонение (Yt -Yt*) оцененных значений Yt* по формуле (25) от фактических значений Yt(факт) составляет только 5,4 млрд. долл., а соответствующее отклонение по формуле (26) составляет 175,1 млрд. долл.}

^{Таблица 4. Сравнение расчетных величин Yt* с фактическими величинами Yt(actual) ВНП США (n=(a+b)=1)}

Год	l×t	Qt^*		Yt^*		^Yt(^факт^)	^Yt(^факт^)^-^Yt*
				^ПФ (^25^)	Yt^*= A K^aL^be^l×^t		^ПФ (^25^)	Yt^*= A K^aL^be^l×^t
1987	0,000	0,000	1,000	6469,7	6633,5	6475,1	5,4	-158,4
1988	0,008	0,024	1,025	6740,8	6771,2	6742,7	1,9	-28,5
1989	0,015	0,042	1,043	6981,4	6917,3	6981,4	0,0	64,1
1990	0,023	0,041	1,041	7112,0	7093,3	7112,5	0,5	19,2
1991	0,030	0,040	1,041	7098,5	7103,7	7100,5	2,0	-3,2
1992	0,038	0,061	1,063	7337,6	7231,6	7336,6	-1,0	105,0
1993	0,045	0,065	1,067	7534,3	7444,1	7532,7	-1,6	88,6
1994	0,053	0,074	1,077	7839,5	7725,7	7835,5	-4,0	109,8
1995	0,060	0,065	1,067	8033,5	8033,5	8031,7	-1,8	-1,8
1996	0,068	0,072	1,075	8331,6	8308,3	8328,9	-2,7	20,6
1997	0,075	0,076	1,079	8707,3	8693,1	8703,5	-3,8	10,4
1998	0,083	0,075	1,078	9069,4	9104,0	9066,9	-2,5	-37,1
1999	0,090	0,077	1,080	9472,0	9524,1	9470,3	-1,7	-53,8
2000	0,098	0,075	1,078	9815,7	9919,4	9817,0	1,3	-102,4
2001	0,105	0,070	1,073	9886,4	10062,7	9890,7	4,3	-172,0
2002	0,113	0,082	1,085	10044,5	10153,5	10048,8	4,3	-104,7
2003	0,120	0,101	1,107	10318,7	10275,1	10320,6	1,9	45,5
2004	0,128	0,119	1,126	10759,2	10580,6	10755,7	-3,5	175,1

Эффект производства экономики США в 1980-е, 1990-е, 2000-е годы увеличился соответственно на 4,1%, 3,6%, 4,5%:

В целом эффект производства экономики США к 2004 году увеличился за анализируемый период в 1,126 раза:

Таким образом, эффект производства экономики США имел тенденцию роста в течение анализируемого периода времени (1987-2004).

Рисунок 1. - Динамика величин Q_t^* и l×t (США).

Характеристики ПФ совпадают не только при отсутствии технического прогресса, но и при предположении его наличия. Из уравнения в темпах прироста следует, что степенная ПФ (15) преобразуется в линейную ПФ с переменным влиянием технического прогресса

Y_t=A₀+a₀×K _t,0 +b₀×L_t,0+, (27)

A₀=Y₀ -a₀×K₀ -b₀×L₀, (28)

а K _t,0 и L_t,0 определяются соответственно по формулам:

K_t,0=K₀+×DK_i=K_(t-1),0+f_t-1⁽⁰⁾×DK_t , (29)

L_t,0=L₀+×DL_i=L_(t-1),0+p_t-1⁽⁰⁾×DL_t, (30)

f_t ⁽⁰⁾ =, p_t⁽⁰⁾ =.

Нетрудно заметить, что ПФ Тинбергена (26) является частным случаем ПФ (15) с переменным влиянием технического прогресса, когда DQ_t постоянны для всего анализируемого периода и равны величине l:

DQ₁=DQ₂=…=DQ_t=l. (31)

Тогда суммарная величина примет вид:

Q_t=DQ₁+DQ₂+…+DQ_t=l×t. (32)

Таким образом, степенная ПФ (15) при выполнении условия (32) преобразовывается в функцию (26).

С другой стороны, линейная ПФ (15) с учетом (31) принимает вид:

Y_t=A₀+a₀×K _t,0 +b₀×L_t,0+l×. (33)

Следовательно, динамическая ПФ Тинбергена (26) преобразована в динамическую линейную ПФ (33) с постоянным темпом экономического роста за счет технического прогресса.

Если же качественных изменений в производстве не происходит, то

DQ₁=DQ₂=…=DQ_t= 0, (34)

а величины K_t,0 = K_t и L_t,0=L_t, т.к. при неизменной капиталооотдаче и производительности труда величины f_t-1⁽⁰⁾и p_t-1⁽⁰⁾ равны единице:

f_i-1⁽⁰⁾= p_i-1⁽⁰⁾=1, i=1,2, …,t.

Следовательно, при отсутствии качественных изменений в производстве динамические ПФ (26) и (33) преобразуются в статические ПФ (1) и (2).

Для сравнения характеристик динамических ПФ (26) и (33) следует по найденным оценкам a₀ и b₀ динамической линейной ПФ (33) рассчитать факторные эластичности выпуска по формулам:

a₀=a₀·, b₀=b ₀·. (35)

Близость характеристик динамических ПФ (33) и (26) так же, как и для статических ПФ, усиливается в случае динамических линейных однородных ПФ:

=A··e^l×t, (36)

Y_t=a₀×K _t,0 +b₀×L_t,0+l×. (37)

Характеристики динамических линейных ПФ (33) и (37) и степенных ПФ (26) и (36) будут эквивалентны только при строгом выполнении гипотезы постоянного экономического роста за счет технического прогресса. Малейшее нарушение этой гипотезы увеличивает расхождение соответствующих оценок параметров этих функций.

Модифицированная ПФ (15) может быть использована не только при ретроспективном моделировании, но также и при прогнозировании. Метод прогнозирования с помощью модифицированной ПФ (15) основывается на преобразовании уравнения в темпах прироста производства к уравнению, из которого определяется влияние учтенных факторов Q_t^{(учтенные)}. После оценивания Q_t^{(учтенные)} переходят к оценке влияния неучтенных факторов Q_t^{(неучтенные)}. Сумма влияния Q_t^{(учтенные)} и Q _t ^{(неучтенные)} равна величине Q_t^*:

Q_t^*=Q _t ^{(учтенные)}+Q _t ^{(неучтенные)}=y(1,t)-(a₀×k(1, t)+b₀×l(1, t)).

Оценив прогнозное совокупное влияние Q_t^*, можно определить прогнозное значение Y_t^*.

Экспериментальные расчеты показывают, что модифицированная ПФ (15) описывает реальные экономические процессы более точно, чем традиционные функции. Главная сложность в прогнозировании состоит в правильном выборе гипотезы относительно динамики влияния неучтенных факторов Q_t^{(неучтенные)} на экономический рост в перспективном периоде.

Литература

Мун Д.Е. «Производственные функции в моделировании вклада факторов в прирост конечных результатов производства.» - В сб.: Экономика и технология. М., РЭА им Г.В. Плеханова, 1993. С. 97-106.

Мун Д.Е. «Моделирование экономического развития промышленности Хабаровского края». - Вестник ДВО РАН, 1996, № 4. С.133-137.