Серов В. В.

Дятьковский филиал Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова.

О численных значениях параметров космологических моделей

Глобальной космологической моделью является модель А. Фридмана, в которой Вселенная является однородной и изотропной. Метрика такой Вселенной является нестационарной, и ее эволюция с течением времени описывается уравнениями ОТО Эйнштейна. Однако параметры этой модели известны весьма приближенно. В уравнения Эйнштейна не входит никакой размерной постоянной размерности длины, т. е. они являются масштабно инвариантными. Для того чтобы определить размерные значения параметров модели А. Фридмана нужно из опыта определить хотя бы один размерный параметр. Таким параметром является, конечно, постоянная Хаббла. Однако постоянная Хаббла определена с 10% погрешностью, что связано с трудностью измерения расстояний до космических объектов. Поэтому в дальнейшем мы не будем интересоваться размерными значениями параметров модели А. Фридмана, а сосредоточимся на безразмерных параметрах. Тем более что в экспериментах и определяются безразмерные величины: красное смещение, относительные звездные величины, относительные флуктуации температуры реликтового излучения. Сначала определим рассматриваемые безразмерные параметры модели. Временная компонента уравнений Эйнштейна для рассматриваемой модели имеет вид

, (1),

где - масштабный фактор, - плотность энергии вакуума, - плотность энергии вещества, включающая в себя, как плотность барионов, так и темной материи. Знак плюс в левой части (1) соответствует пространству постоянной положительной кривизны, а минус – пространству постоянной отрицательной кривизны.

В уравнениях Эйнштейна мы не разделяем темную материю и барионы, так как они входят в уравнения движения только через свое уравнение состояния, а уравнения состояния у темной материи и барионов одинаковы: . Кроме того, мы не учитываем излучение, так как даже на момент рекомбинации водорода при температуре ~3000К протоны будут нерелятивистскими и давлением и энергией излучения можно пренебречь.

Как было показано еще А. Фридманом, уравнения Эйнштейна имеют интеграл , такой что

(2)

Подставляя (2) в (1) и вводя новые постоянные размерности длины по формулам

, (3),

получаем

(4)

Вводя еще одну постоянную , запишем (4) в виде

, (5)

На момент окончания инфляции масштабный фактор Вселенной достигает громадных значений. Будем считать, что в настоящее время выполняется условие . Аргументы в пользу этого приведены нами в [1]. Так как в настоящее время выполняется условие , то и . Следовательно, в правой части (5) можно пренебречь 1 по сравнению с первым слагаемым и считать, что изменяется с течением времени согласно уравнениям пространственно плоской модели. Отметим, что условие

(6)

выполнено и для других , так как наименьшее значение выражения в скобках в правой части (6) достигается при (), что соответствует переходу от режима доминирования вещества к ускоренному расширению, т. е. к доминированию вакуума. Ясно, что условие плоскостности будет выполнено и при учете излучения. И лишь на начальном периоде инфляции, когда не было ни излучения, ни вещества, а присутствовало только скалярное поле, условие плоскостности нарушалось.

Отбрасывая 1 в правой части (5), получаем решение

(7)

Здесь - значение масштабного фактора в момент , а - масштабный фактор в настоящий момент . Безразмерный параметр модели, который мы будем определять – это . Отметим, что (см. [2]), где - средняя плотность «холодного» вещества в современную эпоху. Согласно данным по анизотропии реликтового излучения [3] , что соответствует . Для плотности барионов в [3] приводится значение . С этим значением можно согласиться, так как согласно наблюдательным данным [4] в скоплениях галактик достигает значения 0.04. Учитывая, что в уравнения Эйнштейна входит средняя плотность, вполне вероятно, что . Но тогда на долю темной материи остается .

Анализируя движение галактик в локальной космологии [5], мы пришли к следующему значению параметра , что соответствует значению . Таким образом, в дальнейшем мы произведем сравнение двух моделей. Модель А (стандартная) имеет следующие параметры: , . Модель Б со следующими параметрами: , . Отметим, что модель Б не закрывает проблему «скрытой массы». В этой модели для темной материи остается . Но такая скрытая масса уже не может быть распределенной темной материей. Группы галактик могут содержать много пока еще неоткрытого барионного вещества в ядре, которое должно классифицироваться как "видимое".

Получим сначала формулу для красного смещения, так как в этом вопросе много путаницы. Ясно, что красное смещение зависит от трех факторов: глобальной метрики и ее изменением с течением времени в случае нестационарной метрики, локальной кривизны в месте излучения квантов и их приема и скоростей движения излучающей частицы (галактики) и приемника излучения. Зависимость длины волны принимаемого излучения от всех выше перечисленных факторов и называется обобщенным эффектом Сакса-Вольфа. В классической работе [6] получено выражение для красного смещения, зависящее от всех вышеупомянутых факторов. В общей формуле для красного смещения авторы выделяют части связанные с метрикой (гравитационное смещение) и части, связанные со скоростью движения источника излучения и приемника. Но отмечают, что разделение красного смещения на «доплеровскую» и гравитационные части довольно условно. Мы же выскажем предположение, что в случае нестационарной метрики это разделение вообще лишено смысла. Рассмотрим простой пример. Представим, что в пустом пространстве имеются две частицы: источник излучения и приемник. Пусть источник движется с некоторой скоростью относительно инерциальной системы отсчета, а приемник покоится. Длина волны излучения, принимаемого приемником, будет смещена в соответствии с формулой Доплера. Т. е. красное смещение – это результат эффекта Доплера. А теперь перейдем в другую систему отсчета, т. е. сделаем преобразование координат такое, при котором и приемник, и источник покоятся во все моменты времени. Эта система отсчета не инерциальная, и метрика будет нестационарной. Она движется с ускорением относительно инерциальной системы, что эквивалентно некоторому гравитационному полю. Величина красного смещения, конечно, не изменится, но теперь оно стало гравитационным красным смещением.

Мы получим формулу для красного смещения в менее общем случае, чем в работе Сакса и Вольфа, т. е. без учета локальных гравитационных полей.

Будем пользоваться метрикой плоского пространства, имеющей вид

(8)

Уравнение распространения света следует из условия и имеет вид

(9)

Здесь свет выходит в момент времени из точки с координатой . Момент прихода света в точку с координатой определяется из

(10)

Пусть второй световой импульс выходит из точки с координатой в момент времени . Свет приходит в точку с координатой в момент времени

(11)

Из (10) и (11) следует, что

(12)

Подставим выражения и в (12)

, (13),

где и - проекции скоростей приемника и источника наблюдения на направление светового луча соответственно.

Переходя к локальным системам отсчета, где источник и приемник излучения покоятся, получим

, (14),

где и - интервалы времени между приемом и посылкой световых импульсов в системах отсчета, где приемник и излучатель покоятся.

Из (12)-(14) следует

(15)

Такая же связь будет между собственной длиной волны излучения и длиной излучения, принимаемой приемником . Поэтому для красного смещения получаем

(16)

В случае стационарной Вселенной, т. е. если из (16) получаем формулу Доплера. Если скорость источника излучения мала, то из (16) получаем в квадратичном приближении для скорости приемника излучения

(17)

В случае малых z, например, в локальной космологии, скорость движения приемника излучения необходимо учитывать, что и было фактически сделано в [7]. Естественно, скорость движения приемника излучения нужно учитывать и при анализе анизотропии реликтового излучения. Если же рассматривать движение галактик при , то скоростью приемника излучения можно пренебречь. Тогда из (17) получаем известное выражение

(18)

При малых красных смещениях параметры космологических моделей определяются из линейного закона Хаббла: пропорциональной зависимости между скоростью движения источника излучения и расстоянием до него. При этом, как сказано в «Теории поля» Ландау и Лившица [8], «красное смещение представляет собой по существу эффект Доплера от взаимного разбегания тел». Это утверждение неверно. В решениях типа решения Фридмана с метрикой (8) скорости всех пробных частиц остаются равными нулю, если они в начальный момент времени были равными нулю, что следует из уравнения Гамильтона-Якоби. При этом однородность плотности сохраняется. Небольшие возмущения решения приводят, как к отклонению метрики от формы (8), так и к появлению пекулярных скоростей . Поэтому, как в случае больших , так и малых, красное смещение имеет гравитационную природу, и для его вычисления нужно пользоваться (18). В случае малых из (18) сразу получаем

(19),

где - современное значение постоянной Хаббла. Примем, что момент приема сигнала , а момент излучения . Рассматривая распространение светового сигнала, как это делалось выше, мы получим

(20),

где - координата точки излучения. Из (19) и (20) сразу следует

, (21)

Здесь - расстояние между источником и приемником. Хотя метрика (8) и является нестационарной, но как будет показано ниже, при малых расстояние может быть определено по закону обратных квадратов, как и в случае плоской стационарной модели.

Линейный закон Хаббла имеет именно форму (21). Этот закон и проверяется при наблюдениях. Форма закона Хаббла, которая приводится в литературе, получается из (21), если подставить в (21) неверное «доплеровское» выражение для красного смещения . Здесь это не приводит к ошибке, так как скорость источника излучения не определяется из наблюдений, а вычисляется из красного смещения .

Многие парадоксы ОТО возникают тогда, когда пытаются интерпретировать некоторую скорость, как скорость «движения» одного тела относительно другого. В известном парадоксе близнецов непонятно, какой из двух братьев двигался: тот, который остался на Земле, или тот, который улетел? Ответ на этот вопрос может быть получен лишь в случае, если один из братьев когда-нибудь вернется на Землю. Увы, удаленная галактика к нам не вернется никогда! Но согласно уравнениям движения, как наша галактика, так и удаленная покоятся всегда. Расширяется лишь пространство.

При наличии же возмущений появляются так называемые пекулярные скорости. Например, при анализе дипольной компоненты анизотропии реликтового излучения была определены скорость движения приемника излучения – Земли, которая оказалась равной порядка 600 км/с. Это скорость движения относительно чего? Сакс и Вольф утверждают, что это скорость движения Земли относительно той локальной системы отсчета, где реликтовое излучение будет максимально изотропным. Это правильный ответ, если только такая система отсчета существует. Но не будет ли в этом случае такая система отсчета привилегированной, а поле скоростей всех частиц, не станет ли абсолютным полем скоростей? Не возрождается ли при таком подходе абсолютный эфир? Нет, это не так. Системы отсчета все эквивалентны, но рассматриваемая система отсчета привилегированная лишь в одном смысле: решение для метрики в этой системе отсчета имеет очень простую форму, хотя вид уравнений Эйнштейна одинаков во всех системах отсчета! Сложность ОТО состоит в том, что для того чтобы получить решение уравнений Эйнштейна, нужно ввести какую-то систему отсчета. Мы не можем получить решение в общем случае для любой системы отсчета. Уравнения Эйнштейна слишком сложны. На практике же дело обстоит следующим образом. Считается, что решения для метрики обладают определенной симметрией и именно эти «симметричные» решения и находят. Но тем самым система отсчета определяется автоматически: она обладает той же симметрией, что и решения.

Нужно четко осознавать, что обобщенные координаты ОТО, как и обобщенные скорости, не имеют непосредственного физического смысла. Они не являются непосредственно наблюдаемыми величинами. Приведем один пример. В знаменитой лекции по космологии 2007 года в ФИАНе А. Линде рисует конечную судьбу Вселенной следующим образом. Наша галактика падает на Андромеду и продолжает оставаться далее гравитационно связанной с последней. Удаленные же галактики продолжают удаляться от нас, асимптотически приближаясь к горизонту де Ситтера, прилипают к этому горизонту. Картина будет действительно такой, если мы используем систему отсчета, в которой метрика де Ситтера имеет стационарную форму. Если же мы используем систему отсчета, в которой метрика де Ситтера нестационарная, то расстояние между нами и удаленной галактикой продолжает расти до бесконечности. А что же на самом деле? Вопрос лишен смысла! Тем более что расстояние не является инвариантным, а инвариантен интервал между событиями. В любом случае величина красного смещения будет неограниченно возрастать. А именно оно и наблюдается на опыте, а не расстояние.

Перейдем теперь к выводу формулы для интенсивности излучения, принимаемого приемником. Такая формула для пространств постоянной отрицательной и положительной кривизны получена в классическом учебнике [8]. Вывод формулы в [8] отличается выгодным образом от выводов аналогичных формул другими авторами: при выводе авторы используют только ОТО Эйнштейна и классическую электродинамику Максвелла, но не пользуются квантовыми представлениями. Это правильно, так как постоянная Планка не входит ни в уравнения Эйнштейна, ни в уравнения Максвелла, а последовательная квантовая теория гравитации еще не создана. Для случая плоского пространства формула для интенсивности излучения будет иметь вид

(22),

где - момент излучения, - момент приема сигнала, а - конформное время распространения сигнала

(23)

Для малых из (22) и (23) следует закон обратных квадратов

, (24)

Для вычисления интеграла в (23) используем (7). Согласно (7) имеем

(25)

Заменив переменную интегрирования в (23) на z согласно (25), получим

(26),

где определяется по формуле

(27)

Тогда для интенсивности излучения получаем

(28),

где - некоторая постоянная.

В астрономии определяются не интенсивности излучения, а относительные звездные величины , которые связаны с интенсивностями излучения следующим образом

(29)

Но тогда из (28) и (29) окончательно получаем

(30)

Нормировочная постоянная определяется из наблюдательных данных. На рис. 1 приведены наблюдательные данные по сверхновым типа 1а, полученные группами А. Райсса и С. Перлматтера (они взяты нами из книги [4]) и теоретически рассчитанные зависимости для значений параметра р, равных 1.442, 2.668 и 3.659. Последнее значение соответствует .

Однако, непосредственный численный расчет по формуле (30) показывает, что если мы определим постоянную для какого-нибудь небольшого значения из данных наблюдений, то при других значениях красного смещения теоретическая кривая очень быстро отклоняется от наблюдательных данных. Этому возможно лишь единственное объяснение: закон расширения Вселенной при малых отличается от закона Фридмана. При этом (30) будет верна, но уже не определяется по формуле (27). Действительно, (30) основано на формуле для красного смещения (18), а она одинакова для любого закона расширения. Также ясно, что формула Хаббла (21) не зависит от закона изменения масштабного фактора с течением времени.

Для преодоления указанного затруднения запишем (23) в следующей форме

(31),

где момент времени соответствует небольшому красному смещению , например, (мы считаем, что решение Фридмана будет справедливо при ). Но тогда вместо зависимости (30) мы получим

(32)

Численный расчет показывает, что в этом случае теоретические кривые практически совпадают между собой для широкого диапазона , независимо от величины параметра , что и соответствует данным наблюдений. При этом, конечно, постоянные и определяются из наблюдательных данных.

Из сравнения наблюдательных данных с теоретическими зависимостями видно, что трудно сделать вывод в пользу модели А или Б. Однако этот выбор можно было бы сделать, если бы имелись данные для красных смещений . Но при этом нужно использовать статистическую обработку данных, так как с увеличением z увеличивается дисперсия вследствие увеличения пекулярных скоростей. В то же время, как видно из рис.1, выбор между кривыми 2 и 3 сделать невозможно.

Если не подвергать сомнению наблюдательные данные эксперимента по анизотропии реликтового излучения (эксперимент WMAP) и методику их обработки, то получается . Этот же параметр из наблюдений сверхновых 1а пока не определен, так как отсутствуют данные для красных смещений . Поэтому чрезвычайно важно определить параметр p по данным о сверхновых 1а. Совпадение значений параметров в обоих случаях было бы существенным аргументом в пользу принятия стандартной космологической модели с темным веществом.

Рисунок 1. Зависимость звездной величины от красного смещения.

1 - r_V/r_c=0.75, 2 - r_V/r_c=0.95, 3 - r_V/r_c=0.98

Из сравнения наблюдательных данных с теоретическими зависимостями

видно, что трудно сделать вывод в пользу модели А или Б. Однако этот

Остается еще вопрос, почему при малых красных смещениях закон расширения Вселенной существенно отличается от закона Фридмана. Конечно, при малых Вселенная является неоднородной: имеются огромные пустоты, по границам которых и расположены скопления и сверхскопления галактик. Но в этом случае метрика (8) неприменима и расширение Вселенной будет анизотропным. Однако наблюдательные данные не обнаруживают существенной анизотропии расширения. По нашему мнению это происходит потому, что для моментов времени, близких к настоящему, закон расширения уже близок к режиму де Ситтера. Влияние неоднородно распределенного вещества мало на динамику расширения: эта динамика в основном определяется вакуумом. Но тогда и при малых закон расширения будет «фридмановский», и наблюдательные данные по сверхновым 1а не могут быть объяснены. Разрешение этого парадокса может быть получено, если предположить, что плотность энергии вакуума не является постоянной. Действительно, ряд авторов рассматривают вакуумоподобную среду квинтэссенцию, плотность энергии которой изменяется с течением времени. Для определения закона изменения плотности им приходится постулировать определенное уравнение состояние квинтэссенции, т. е. написать некоторую связь между компонентами тензора энергии-импульса. Правда при таком подходе сразу уже записывается определенное выражение для тензора энергии-импульса. В то же время в последовательной теории тензор энергии-импульса должен получаться из выражения для действия. Но никакого интеграла действия для квинтэссенции не записано. Решение указанной проблемы может являться темой дальнейших исследований.

Литература

1. Серов, В. В. К вопросу о плоскостности Вселенной / В. В. Серов // Научное обозрение. 2009.- № 2. С.-55-60.

2. Серов, В. В. О законе Хаббла на больших расстояниях / В. В. Серов // Научное обозрение. 2008.- № 5. С.-26-31.

3. Spergel, D. N.Astro-ph/0603449 / D. N. Spergel // Astrophys. J. - Suppl. 170 377, 2007.

4. Насельский, П. Д. Реликтовое излучение Вселенной / П. Д. Насельский, Д. И. Новиков, И. Д. Новиков. М.: Наука, 2003.

5. Серов, В. В. О парадоксе Хаббла-Сэндиджа / В. В. Серов // Научное обозрение. 2009.- № 6 .

6. Sachs R. K., Wolfe A. M., Ap. J. 147, 73 (1967).

7. Караченцев, И. Д. УФН 171 860 / И. Д. Караченцев. – 2001.

8. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М.: Наука, 1988.