Д.п.н., профессор О.С.Сатыбалдиев

Казахский национальный технический университет им. К.И.Сатпаева, Республика Казахстан

Критерий конечности типа резольвенты несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля

Пусть -действительная, бесконечно гладкая положительная, а -комплексная локальная суммируемая в функции, причем

(1)

Обозначим через замыкание в оператора определенного на множестве равенством

Всюду в этой работе мы предполагаем выполненным следующие условия:

1) для каждого достаточно большого существует постоянное число такое, что

при (2)

где

(3)

2) существует вполне непрерывный оператор обратный к и определенный на всем

Пусть оператор сопряженный к Тогда является замыканием в оператора определенного на равенством

Заметим, что при выполнении условия 2) оператор сопряженный к также вполне непрерывен и обратим, причем Но тогда вполне непрерывен и обратим неотрицательный самосопряженный оператор и обратным неотрицательный квадратный корень из него, т.е. оператор

Известно также, что для всех

Обозначим Тогда и для всех Нетрудно заметить, что справедливы соотношения

и (4)

для всех

В самом деле, для всякой функции

Из этого соотношения и из определения а также замкнутости оператора вытекают равенства (4). Следуя [1], собственные числа оператора называем -числами оператора и обозначим их так что Числа будем называть числами оператора т.е.

Пуст для каждого обозначает количество чисел оператора не превосходящих

Справедлива следующая

Теорема1. [2,с.23]. Пусть выполнены условия 1)-2) и Тогда справедливы оценки

(5)

где -постоянная, зависящая только от постоянной из условия 1).

Теорема2. Пусть выполнены условия 1)-2) и

Тогда

а) оператор принадлежит классу в том и только в том случае, если

б) справедливы оценки

где -постоянная, зависящая от и от постоянной из условия (1).

Доказательство. Заметим, что

Отсюда используя неравенство (3), справедливы при и выполнены условий 1)-2) (см. теоремы1), нетрудно получить оценки

где

С другой стороны при достаточно большем и справедливы следующие равенства

Далее, рассуждая также, как и в работах ([3], [4]), получаем оценки

Из последних оценок и оценок (5) вытекает утверждение б) теоремы. Утверждение а) теоремы является следствием утверждения б).

Теорема2 доказана.

Литература:

1. Гохбер И.Ц., Крейн М.Г., введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М, Наука, 1965.

2. Сатыбалдиев О.С. Об оценках -чисел и полноте системы корневых векторов некоторых дифференциальных операторов, конд....дис., Алма-Ата, 1988.

3.Отелбаев М., Оценки собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Матем. Заметки, т.20, №6, 1976, с. 859-867.

4. Розенблюм Г.В., Об оценках спектора оператора Шредингера. Вкн.: Проблемы математического анализа, ЛГУ, вып.5, 1975. с. 152-165.