Математика/5. Математическое моделирование

Игнатьев Е.П.

Юргинский технологический институт (филиал) Томского политехнического университета, Россия

Нецентральные нелинейные преобразования плоскости, индуцируемые пучками окружностей, и их использование в получении технических кривых

Конструирование технических кривых (всевозможные аэро-и гидродинамические профили, оси трубопроводов, шпангоуты, линии-параметроносители) сводится к построению кривых, сопрягающих точки заданного дискретного массива с выполнением некоторого набора краевых условий. В свою очередь, технические поверхности (различные зализы, воздухозаборники, лонжероны, лопатки турбин) сопрягают по определенному порядку гладкости исходные кривые. В настоящее время технические кривые в большинстве случаев представляют в виде составных обводов определенного порядка гладкости. Однако в различных расчетах важно иметь кривые, которые описываются одним уравнением. Составляющие обводов зачастую выбираются без необходимого геометрического обоснования. В результате этого обвод не отвечает своему функциональному назначению, а число составляющих является завышенным. Поэтому поиск базового метода получения кривых в системах автоматизированного конструирования, который был бы достаточно универсальным и простым, остается актуальным.

При конструировании кривых целесообразно использовать нелинейные преобразования [1-2]. Причем желательно, чтобы аппарат преобразования включал в себя простые геометрические образы, например, прямые и окружности. В этом плане интерес может представлять предлагаемый новый способ задания квадратичных инволюций с помощью пучков окружностей.

Пусть на плоскости задан эллиптический пучок окружностей двумя базисными точками Тогда произвольная точка выделяет из пучка единственную окружность . Диаметрально противоположную точку будем считать соответственной точке . Таким образом, на плоскости индуцируется нелинейное преобразование, расслаивающееся в пучке окружностей на центральные симметрии. Нетрудно показать, что операторы прямого преобразования имеют вид

.

Таким образом, получаем квадратичную инволюцию с пучком слабоинвариантных окружностей. Точки являются простыми -точками. Им соответствуют -прямые, уравнения которых имеют вид: . Предельной прямой является ось . Если в качестве прообраза взять окружность, имеющую уравнение , то ее образом будет являться кривая четвертого порядка, уравнение которой имеет вид:

или в однородной форме:

Координаты циклических точек удовлетворяют этому уравнению, следовательно, полученная кривая является циркулярной кривой. Причем форма кривой зависит от положения образа относительно фундаментальных точек, принципиальных кривых и предельной прямой. Для параболического пучка , для гиперболического

Предлагаемый подход позволяет конструировать кривые в широком диапазоне изменения форм и параметров. Уже на стадии задания прообраза можно иметь представление о форме конструируемой кривой. Так, например, кратность точек кривой в фундаментальных -точках определяется количеством точек пересечения прообраза с -прямыми, наличие несобственных точек – расположением прообраза относительно предельной прямой. Для того, чтобы конструируемая кривая была замкнутой, необходимо чтобы прообраз не пересекал предельную прямую.

Использовать предлагаемый способ в практике реального конструирования сложных технических форм без применения вычислительной техники достаточно затруднительно, так как при выборе кривой, отвечающей наперед заданным требованиям приходится рассматривать большое количество вариантов. Поэтому на основе предлагаемого способа в среде Macromedia Flash MX Professional 2004 разработана программа, которая позволяет:

-выбирать аппарат преобразования исходя из исходных условий;

-выбирать прообраз;

-получать изображение конструируемой кривой и ее уравнение.

Предлагаемый способ и компьютерная программы используются в учебном процессе кафедры механики и инженерной графики ЮТИ ТПУ при изучении учебной дисциплины «Начертательная геометрия. Инженерная графика». Кроме того, они могут быть использованы в практике реального конструирования технических кривых и поверхностей.

Литература:

1. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). – М.: Машиностроение, 1987.- 192 с.

2. Sturm R. Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Band 4. Leipzig und Berlin: Druck und Verlag von B.G.Teubner, 1908. -484 s.