1.Дифференциальные и интегральные уравнения
Ж.Б. Муканов
Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева,
г.Астана
О НЕОБХОДИМОМ УСЛОВИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ ФУНКЦИИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМ ОБОБЩЕННЫМ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ
Пусть
, где 
,
- произвольная бесконечная в обе стороны последовательность натуральных чисел, а
,
где 
, 
, 
, 
, соответствующая ей группа с групповой операцией 
.
Рассмотрим группу 
, определяемую последовательностью 
, симметричной последовательности 
, т.е.
, где 
.
Группу 
образуют
последовательности
,
где 
, 
, 
.
Для каждой пары 
определим функцию
двух переменных 
:
. (1)
Множество таких функций назовем обобщенной мультипликативной
системой.
Введем обозначения:
, 
, 
, .
.
Учитывая симметричность 
имеем
, 
, 
, 
.
Каждую из групп 
и 
отобразим на
действительную полуось. Для этого последовательности 
поставим в
соответствие ряд
, (2)
а последовательности 
- ряд
. (3)
Здесь 
означает целую часть
числа 
, а 
- дробную часть числа
.
Соответствие между лучом 
и группой 
(а также между 
и группой 
) будет взаимно-однозначным, если каждая 
-ично- рациональная (соответственно 
-ично - рациональная) точка считается дважды.
Таким образом, построенная система функций
является
континуальным аналогом системы Прайса [1].
Более подробные сведения о континуальных
аналогах 
изложены в монографии
[1].
Двумерные системы функций 
определим равенством
.
Обозначим через 
- пространство
измеримых на 
по мере Лебега
функций 
с конечной нормой
.
Обобщенное мультипликативное
преобразование Фурье функции 
определяется
равенством
.
Для функции 
прямым
мультипликативным 
- преобразованием назовем функцию
где 
.
В данной работе исследуются вопросы 
–интегрируемости (1<p<∞) со степенным весом функции двух
переменных, представленной через монотонно убывающее обобщенное
мультипликативное преобразование Фурье.
Сформулируем
определения.
Пусть 
а 
, 
- двумерные векторы, 
. Обозначим через 
=
множество всех
двумерных векторов, координаты которых равны 0 или 1. Через а
обозначим вектор, все координаты которого равны 
(аналогично вектор b). Тогда
Если векторы 
и вектор 
, то будем говорить, что 
в том случае, когда 
=0 при 
и 
при
, имеем 
Говорят, что функция 
монотонна по Харди,
т.е. 
, где 
, 
и 
, (см.[2]), если 
и для любого
ненулевого вектора 
выражение
либо неотрицательно при всех 
либо неположительно
при таких 
Ядро Дирихле для двумерного случая имеет
вид
(4)
В следующей теореме приводится достаточное
условие интегрируемости со степенным весом функции 
. При этом условие выражено в терминах обобщенных
мультипликативных преобразований.
Теорема
1. Пусть 1<p<∞, 
, где
, существуют частные производные 
, 
и 
, 
, 
. Тогда, если
,
то
, (5)
Для доказательства приведенной теоремы нам
понадобятся следующие вспомогательные утверждения.
Лемма
А. (см.[3]). Пусть обобщенное ядро Дирихле
определено равенством (4). Тогда
а) Для любых 
и m, n 
Z имеет место равенство
,
где 
- характеристическая функция 
.
б) 
для 
, 
Лемма
1. Если 
, где 
, существуют частные производные 
, 
и
, m,n
Z+ ,
то 
и 
имеет место неравенство
(6)
Лемма 1
доказывается с помощью применения формулы интегрирования по частям и леммы А.
Лемма
B. (Moricz F., [4]). Пусть 
, 
функция 
≥0
определена для 
и
Тогда, если
то
и
Доказательство теоремы 1.
Так как
и
,
то на основании неравенства Гельдера имеем
Следовательно,
и согласно
и (4), а также леммы А
=
=
, (7)
где
По лемме B
(8)
С другой стороны в силу монотонности 
и оценки (7)
имеем, что
.
Так как по условию теоремы 
и учитывая (8),
то
.
Теорема 1 доказана.
Литература
1.
Голубов Б.И., Ефимов
А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. -
М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-344 с.
2.
Дьяченко М.И. Кусочно монотонные
функции многих переменных и теорема Харди–Литтлвуда // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1991.– Т.55, № 6.– С . 1156–1170.
3.
Голубов Б.И. Элементы двоичного анализа. М.:МГУП, 2005. – 204 с.
4.
Moricz F. On double cosine, sine, and Walsh series with monotone coefficients. //
Proc. Amer. Math. Soc.– 1990.– V.109. № 2.– P. 417 – 425.