Математика/4. Прикладная математика

Мотайло А.П.

Херсонский национальный технический университет, Украина

Базисы шестиузлового октаэдра

До сих пор о существовании каких-либо базисов октаэдра можно было узнать из работ [1,2]. В них рассматриваются октаэдры с узлами в вершинах и барицентре. При этом авторы [1] только знакомят читателя с полным набором формул базисных функций семиузлового октаэдра, оставляя открытым вопрос о способах построения таких функций. Автор [2] подробно описывает процедуру построения базиса семиузлового октаэдра, основанную на тейлоровских разложениях функции трёх независимых переменных в сочетании с конечно-разностными аналогами частных производных первого и второго порядков.

Цель статьи – представить базисы шестиузлового октаэдра, проанализировать специфику формообразования базисных функций. Методы конструирования таких базисов будут изложены в отдельных публикациях.

Рассмотрим октаэдр, центр которого расположен в начале пространственной прямоугольной системы координат, вершины (узлы) являются точками пересечения октаэдра с описанной сферой единичного радиуса, а координатные оси направлены так, как показано на рис.1.

Рис.1 Октаэдр с 6-ю узлами

В этой системе координат линейный базис, полученный методом конденсации [3,4] из функций семиузлового октаэдра, представленных в работе [1], имеет вид:

(1)

Квадратичный базис, полученный тем же методом конденсации из другого семиузлового базиса октаэдра [2], запишется так:

(2)

Автору настоящей статьи впервые удалось модифицировать метод Уачспресса с целью построения базиса (2). Автор благодарит коллег Литвиненко Е.И. и Хомченко А.Н., указавшим на возможность построения базисов 6-узлового октаэдра путём исключения центрального узла 7-узловой модели, а также с помощью вероятностно-геометрического моделирования. Подробное изложение каждого из упомянутых подходов к построению базисных функций шестиузлового октаэдра является темой отдельной публикации.

Полученные базисы, линейный и квадратичный, порождают бесчисленное множество других базисов октаэдра с 6-ю узлами, которые являются результатом взвешенного усреднения соответствующих функций, определённых равенствами (1) и (2), а именно:

(3)

где - произвольное действительное число, а - функции формы линейного и квадратичного базисов соответственно.

Так, например, арифметическое усреднение указанных базисов даёт следующий результат:

(4)

Легко установить, что при составлении базиса (4) использованы фрагменты плоскостей и двуполостного гиперболоида вращения.

Следует отметить, что приведенные здесь базисные функции являются гармоническими по Лапласу, в отличие от функций квадратичного базиса на семиузловом октаэдре.

Литература:

1. Greiner G. Hierarchieal tetrahedral-octahedral subdivision for volume visualization / G. Greiner, R. Grosso // The Visual Computer. - 2000. - I. 16 - P. 357-369 - Режим доступа:

http://www.springerlink.com/content/r3jrlrmj01dguu73/fulltext.pdf.

2. Bruijn H. Numerical Method for 3D Ideal Flow / Han de Bruijn // Режим доступа:

http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/jaar 2010/octaeder.pdf.

3. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. – М. : Мир, 1981. – 304 с.

4. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. - М. : Мир, 1981. – 216 с.