Математика/5. Математическое моделирование

Кирилюк Л.Л.

Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского

МАТЕМАТИКА В ФИЗИЧЕСКИХ НАУКАХ

При всех отклонениях и поворотах в развитии физики неизменным остается один фактор – исключительная роль математического воображения. В каждом столетии отдавалось предпочтение какому-то своему направлению в науке и вырабатывался свой стиль в математике. Однако всякий раз, когда добивались крупных успехов в физике, ее все глубже постигали благодаря синтезу эмпирического наблюдения с чисто математической интуицией. Математика для физика это не только инструмент, с помощью которого он может количественно описать любое явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории.

Способность математики отображать поведение физической вселенной беспрестанно удивляло физиков всех времен. Великий астроном XVII в. Иоганн Кеплер, открывший законы движения планет, выразил свое изумление, прибегнув к богословским понятиям: «И вот сам Господь, который был слишком благ, чтобы оставаться праздным, затеял игру в символы, посылая знаки своего подобия в мир. Поэтому я осмеливаюсь думать, что вся природа и благословенное небо записаны на языке искусства геометрии». В более идеалистическом XIX в. немецкий физик Генрих Герц, который первым подтвердил опытом уравнение электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла (доказав существование радиоволн), писал: «Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было заложено». В рационалистический XX в. Е. Вигнер в характерной для него строгой и сдержанной манере выразил свое изумление перед успехами более современных математических идей: «Мы находимся в положении человека, который, вооружившись связкой ключей, принялся открывать одну дверь за другой, причем каждый раз он находит нужный ключ с первой или со второй попытки. В результате этот человек начинает скептически относиться к тому, что каждой двери соответствует свой ключ». Почти ничего общего нет между кеплеровской, герцевской и вингнеровской математиками. Кеплер занимался евклидовой геометрией, т.е. кругами, сферами и правильными многогранниками; Герц размышлял об уравнениях в частных производных; Вигнер писал об использовании комплексных чисел в квантовой механике и имел также в виду свой собственный вклад в распространение теории групп во многие области физики. Геометрия Евклида, дифференциальные уравнения в частных производных и теория групп – это три направлении математики, столь далеки друг от друга, что кажутся принадлежащими различным математическим мирам. И тем не менее эти направления оказались тесно связанными в нашем едином физическом мире. Все это поразительные факты, которые никто еще не смог полностью осмыслить. Отсюда можно заключить с уверенностью только одно. Человеческий разум еще далек от сколько-нибудь полного понимания как физического, так и математического мира, не говоря уже о соотношении между ними.

Самым выразительным примером успешного применения математического мышления в физике все еще остается эйнштейновская теория гравитации, известная также как общая теория относительности. Чтобы построить свою теорию, Эйнштейн взял в качестве рабочего материала неевклидову геометрию – теорию искривленных пространств, созданную в прошлом столетии. Он отождествлял наше физическое пространство – время с искривленным неевклидовым пространством, так что законы физики превратились в утверждения геометрии, в корне отличной от классической геометрии плоского (евклидова) пространства. При этом Эйнштейн исходил из весьма общей аргументации и эстетических соображений. Экспериментальная проверка его теории была сделана уже после того, как ее построение было в основном завершено, и не сыграло никакой роли в процессе создания этой теории. Сам Эйнштейн, казалось, так безоговорочно доверял своей математической интуиции, что не испытывал ни малейшей неуверенности относительно исхода наблюдений.

Общая теория относительности – первый пример физической теории, появившейся в результате математического «прыжка в неизвестное». Она могла бы оставаться неоткрытой еще столетие, не появись человек с эйнштейновым воображением. Этого нельзя сказать о квантовой механике, другом крупнейшем достижении физики XX в., созданной независимо Вернером Гейзенбергом и Эрвином Шредингером, которые шли совершенно различными путями. Однако завершить эту теорию удалось впоследствии совместными усилиями многих умов. Но и в квантовой механике решающим шагом был скачок математического воображения, наглядно проявившийся в работе Шредингера, который основывался на формальном математическом сходстве между теорией распространения световых лучей и теорией движения пучков частиц, открытом за девяносто лет до этого ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном.

Общая теория относительности и квантовая механика – это примеры удачных совпадений, когда математическая интуиция выступила в плодотворной и созидательной роли.

Искусство физика состоит в умении подобрать необходимый математический материал и с его помощью построить модель того или иного явления природы. Причем он исходит не из рациональных соображений, а скорее решает интуитивно, подходит ли данный материал для его целей. Когда построение теории завершено, последовательный рационалистический и критический разбор наряду с экспериментальной проверкой покажет, можно ли признать эту теорию разумной. В процессе создания физической теории математическая интуиция необходима, поскольку «умение исключать все лишнее» дает свободу воображению.

Литература:

1. Дайсон Ф. Математика в физических науках // Математика в современном мире. М., 1967.

2. Степин В.С. Становление научной теории. Мн.2006.

3. Акунов А.А. Особенности познания в современной физике. Фрунзе, 1999

4. Степин В.С., Елсуков А.Н. Методы научного познания. Мн., 1999.