Бондаренко Л. Н., Матвиец Т. В., Бондаренко В. Д., Ильенко К.И.

 

Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры

 

Квазистатика математического маятника с реальным шарниром

 

При определении натяжения нерастяжимой и невесомой нити математического маятника традиционно считается, что нить подвешена к неподвижной точке, т.е. шарнир является идеальным. Естественно, что на практике такой шарнир невозможен. Теоретически возможно неограниченное количество видов шарниров, но здесь мы рассмотрим только два.

C:\Users\Юля\Desktop\сканирование0001.gif

Рис. 1. Математический маятник с опиранием шарнира на плоскость

В первом случае шарнир маятника радиусом  опирается на плоскость. Найдем угловую скорость маятника в тот момент, когда нить ОМ образует с вертикалью угол  (рис.1). Трением качения шарнира  по плоскости будем пренебрегать.

Если начальное положение точки М обозначить через М0, то работа сил тяжести на пути М0 – М будет равна Ph, где  - вертикальное перемещение груза (рис.1), где  - вертикальное перемещение груза маятника при идеальном шарнире;  - то же перемещение за счет шарнира.

Согласно закона об кинематической энергии  из рис. 1 нетяжело доказать, что

                                          (1)                                      

Или

                                                      (2)                                         

Если угловую скорость маятника обозначить через , то

.                                          (3)

В момент прохождения маятника через, например, вертикальное положение  будем иметь

 .                        (4)

Определим натяжение нити в момент, когда маятник образует с вертикалью угол . Оно численно равно реакции нити , а для ее  определения воспользуемся методом кинетостатики. Присоединим к силам  и  центробежную силу инерции , тогда получим систему сил, находящихся в равновесии. Сумма проекций этих сил на любое направление должна быть равна нулю. Спроектировав на направление ОМ, получим

,                                                           (5)

откуда

.                                                             (6)

Но поскольку

, 

то на основании уравнения (1)

                       (7)

Теперь , а в момент прохождения маятника через вертикального положение (

                                                (8)

и  зависит от радиуса шарнира  маятника в отличие от идеального шарнира [1].

Рассмотрим случай, когда шарнир основания выполнен в виде цилиндра радиусом (рис. 1в). В этом случае , где  и величина  определится из выражения

.                                  (9)

Если в выводы для предыдущего случая вместо   подставить выражение (9), то получим формулы по структуре близкими к полученным, но содержащими дополнительно , показывающий отклонение от вертикали, проходящей через центр неподвижного шарнира.

В заключении отметим, что введение в расчет математического маятника вместо идеального шарнира реального по геометрии приводит к изменению как угловой скорости маятника, так и натяжения нити.

 

Литература:

1. Николаи Е.Л. Теоретическая механика. Ч. II. М.: Гостехиздат, 1956. 484с. (задача на стр.56)