Шилинец В. А., Кравченко И. Н., Рылова А. С., Скодорво
О. З.
Белорусский государственный педагогический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
КВАТЕРНИОННЫХ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В. А. Гусев в
работе [1] изучал кватернионные моногенные в смысле
В. С. Федорова (F-моногенные) функции [2] на плоскости. В работах [3–5]
исследовались кватернионные функции трех и четырех действительных переменных.
В данной
работе исследуются F-моногенные кватернионные функции, отличные от ранее
рассмотренных. Для этих кватернионных функций получено интегральное
представление и решена краевая задача.
Пусть – односвязная область
трехмерного действительного евклидова пространства
.
Рассмотрим
кватернионные функции вида
,
,
где – действительные
функции класса
,
– базис алгебры
кватернионов (
),
– такие
действительные числа, что
.
Для
любых точек и
области
полагаем
,
.
Определение. Кватернионная функция называется моногенной
в смысле В. С. Федорова (F-моногенной) [2] по кватернионной функции
в области
, если существует такая кватернионная функция
( – однозначные действительные функции точки (
) области
), что для любой фиксированной точки
и любой переменной
точки
имеем
, где
при
,
.
Легко
показать, что если функция – F-моногенная по функции
в области
, то существуют частные производные
, и при этом
.
Рассмотрим
следующую краевую задачу.
Задача. Пусть – трехмерная
ограниченная область с границей
(
). Полагаем далее, что
и функция
, F-моногенная
по
, определены на замкнутой двумерной поверхности
, гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой
для возможности использовать формулу Остроградского. Требуется найти в любой
внутренней точке области
значение функции
, F-моногенной
по
, если известны ее значения на поверхности
.
Для
функции и произвольной точки
полагаем [6]:
(1)
где – направляющие
косинусы внешней нормали к поверхности
в ее текущей точке
,
,
.
Доказаны
следующие теоремы.
Теорема 1. Пуст – любая точка области
,
. Для любой кватернионной функции
, F-моногенной
по кватернионной функции
в области
, имеем
, где
определяется
равенством (1).
Теорема 2. Если кватернионная функция является F-моногенной по
кватернионной функции
в области
, то для любой точки
, лежащей внутри
, имеем
(2)
С помощью
полученного интегрального представления (2) и решается сформулированная краевая
задача.
1.
Гусев В.А. О
кватернионных функциях, моногенных в смысле В.С.Фёдорова // Успехи
математических наук, 1965.– Т. 20, вып. 1(121).– С. 203-208.
2.
Фёдоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций // Известия
вузов. Математика, 1958.– №6.– С. 257-265.
3.
Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А. Аб інтэгральным выяўленні кватэрніённых F-манагенных функцый
аднаго класа // Весці БДПУ. Серыя 3, 2005.–№2.– С. 8-10.
4.
Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А., Падабед Г.Ф. Рашэнне краявой задачы для
кватэрніённых функцый чатырох рэчаісных зменных // Весці БДПУ. Серыя 3, 2006.–№1.–
С. 12-14.
5.
Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А., Андрэева Г.А. Аб кватэрніённых манагенных у
сэнсе У.С. Фёдарава функцыях // Весці БДПУ. Серыя 3, 2010.–№1.– С. 11-13.
6.
Фёдоров В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном
пространстве // Известия вузов. Математика, 1957.– №1.– С. 227-233.