Таттибеков К.С.

Таразский государственный университет им.М.Х.Дулати, Казахстан

Солитоны в одной изотропной модели магнетиков

Стабильность солитонов, кинков и других частицеподобных кластеров часто оказывается связанной с существованием дополнительных (ненетеровых) законов сохранения так называемых "топологических зарядов", которые в ряде случаев могут принимать только дискретные значения, и связаны с глобальными характеристиками многообразия полевых конфигураций. Часто солитоны стабилизируется наличием интегралов движения типа $E, $P и $N. Такие солитоны называются динамическими и существуют как стационарные состояния только в меру сохранения величин E, P, N. Если включить в уравнения движения сколь угодно малые возмущения, разрушающие эти интегралы движения, то динамические солитоны могут быть ликвидированы, и возбужденный магнетик будет переведен в основное состояние. При этом переход магнетика из возбужденного состояния в основное сопровождается непрерывной деформацией поля намагниченности.

Одномерное решение уравнений Ландау-Лифщица, как бы соединяющее два вакуума, описывает такое неоднородное состояние намагниченности, которое никакими конечными деформациями поля намагниченности не может быть сведено к основному[1]. Подобные решения принято называть топологически особыми, им отвечают топологические солитоны. Примером таких топологических солитонов является кинки.

Одной из физически важных нелинейных моделей двумерных магнетиков является (2+1)-мерное обобщенное уравнение Ландау-Лифщица (ОУЛЛ) следующего вида [2,3]:

, (1)

где - матрица анизотропии, причем , - некоторая вектор-функция.

В изотропном случае () ОУЛЛ (1) принимает вид

. (2)

Введем стереографическую проекцию спинового вектора согласно формулам [1]:

,

где является комплексной функцией. В терминах новой комплексной переменной , и при подходящем выборе уравнение (2) принимает вид

. (3)

Здесь h некоторая комплексная функция, определяемая ниже. Построение решения этого уравнения является сложной задачей. Для построения частного класса солитонных решений расщепим это уравнение на следующие два уравнения:

, (4а)

. (4б)

Ясно, что решения этих уравнений являются также решениями уравнения (3). Конечно, обратное утверждение не всегда верно, т.е. уравнение (3) имеет более широкий класс решений, чем система (4). Уравнение (4а) является динамическим уравнением, в тоже время уравнение (5б) есть условие на решение. Вначале найдем точные решения уравнения (4б). Для этого перейдем от декартовых координат (x, y) к полярным координатам согласно формулам

.

В терминах полярных координат при система уравнений (4) примет вид

.

Решение этого уравнения ищем в следующем виде

, (5)

где и является целыми числами, - некоторая комплексная константа. Подставляя (5) в (4) получим

,

где . Если

то общее решение этого уравнения может быть написано в виде

, ,

где . Таким образом, решение уравнения пишется в виде

где и . Тогда соответствующие компоненты спинового вектора задаются выражениями (:

,

,

.

Литература:

1. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагни-ченности. Динамические и топологические солитоны. –Киев:Науково Думка, 1983.-192 с.

2. Ferrer R. /Phys.Pev., 1989, B40,№16, p.1107.

3. Тунгатаров А.Б., Нугманова Г.Н., Мырзакулов Р. Интегрируемые обоб-щенные уравнения Ландау-Лифщица/ Евразийский математический журнал, 2005, №2, с.33-40.