Математика/ 5. Математическое моделирование
д.ф.- м.н. Сухинов А.И., к.ф.- м.н. Никитина
А.В.
Таганрогский технологический институт
Южного федерального университета, Россия
Разработка комплекса программ для решения модельной задачи трофических
взаимодействий планктона и рыб
в Азовском море
Цель работы заключалась в решении нелинейной
пространственно-неоднородной 3D задачи взаимодействия
планктона и популяции промысловой рыбы пеленгас: “фитопланктон – зоопланктон –
питательные вещества – детрит – рыба” в области, представляющей собой замкнутый
бассейн, ограниченный невозмущенной поверхностью водоема , дном
и цилиндрической боковой поверхностью
для временного
интервала
[1]:
(1)
где – концентрации
фитопланктона (Coscinodiscus), зоопланктона (Copepoda), биогенного вещества (азота), детрита, пеленгаса;
– поле течений водного потока;
– передаточные
коэффициенты трофических функций;
– доля
питательного вещества, находящегося в биомассе фитопланктона;
– коэффициенты
элиминации
соответственно;
– коэффициент,
учитывающий смертность и метаболизм
;
– убыль
фитопланктона и пеленгаса за счет выедания;
– убыль
зоопланктона за счет выедания рыбами;
– предельно
возможная концентрация биогенного вещества;
– функция источника загрязнения;
– удельная
скорость поступления загрязняющего вещества;
– коэффициент
разложения детрита;
– скорость
потребления органических остатков пеленгасом;
– коэффициент
убыли фитопланктона в результате потребления его пеленгасом;
– коэффициент
роста фитопланктона;
– передаточный
коэффициент роста концентрации пеленгаса за счет потребления фитопланктона;
и
– диффузионные
коэффициенты в горизонтальном и
вертикальном направлениях для субстанций
соответственно.
К системе (1) были добавлены начальные
условия вида:
(2)
и граничные условия вида:
(3)
где – учитывает
опускание водорослей на дно и их затопление;
– учитывает поглощение биогенного вещества
детритом;
– учитывает отмирание зоопланктона и пеленгаса
соответственно;
– учитывает
опускание детрита на дно.
В трехмерной задаче (1) – (3) учитывались
процессы конвекции (перемещение субстанции за счет перемещения водной среды),
микротурбулентной диффузии (движение за счет теплового движения частиц),
реакции (рост, размножение и отмирание клеток планктона).
Численный алгоритм для решения задачи (1) –
(3) был реализован на языке Visual Studio C++ [3]. Программа позволяет задавать
структуру модели, описывающей динамику взаимодействия трофических сообществ в
каждой точке расчетной области. Начальное распределение популяции пеленгаса и
планктона было учтено в форме, соответствующей пространственно-временным
масштабам моделируемых процессов. Реализованный алгоритм численного решения
позволяет свободно варьировать граничные условия, вид управляющих функций и
значения соответствующих параметров. Понимание механизма функционирования
системы и знание её основных характеристик позволили для преодоления трудностей при настройке программы
использовать феноменологический подход. Эффективность такого подхода достаточно
высока ещё и потому, что поведение системы часто определяется точностью не
отдельных параметров, а их соотношений [4].
При решении модельной задачи были
построены диаграммы распределения
концентраций субстанций демонстрирующие
изменение их концентраций с определенной периодичностью в пространстве и во
времени в
разрезе расчетной области на различных глубинах.
Приведем физические размеры расчетной
области (Азовское море и Таганрогский залив): площадь поверхности 37605 км², длина
343 км, ширина 231 км. Расстояния между узлами сетки по длине и ширине
составляли 1 км, по глубине 1 м.
При настройке программы для расчетной
области использовались следующие значения масштабирующих коэффициентов:
Анализ полученных результатов показал, что
математическая модель (1) – (3)
адекватно отражает реальные экологические процессы на качественном уровне. На
основе экспедиционных данных проведена калибровка и верификация модели,
подобраны оптимальные значения параметров, в нее входящих. Устойчивость
полученного решения задачи позволяет проводить вычислительные эксперименты в
широком диапазоне параметров при начальных и граничных условиях различного
вида.
В соответствии с направленностью работы
модель учитывает особенности
размножения, стадийного развития организмов и различия в длительности их
репродукционных циклов. Поэтому сдвиги по времени между изменениями биомасс
фитопланктона, кормового зоопланктона и пеленгаса соответствуют реальным процессам,
происходящим в мелководном водоеме. Учёт различий в удельной скорости
увеличения биомассы организмов разных трофических уровней осложняется ещё и
тем, что физиологические процессы чувствительны к изменениям внешних условий.
С помощью построенной модели можно
провести оценку, анализ и прогнозирование экологического состояния мелководных
водоемов. Она позволяет уменьшить затраты на натурные эксперименты.
Литература:
1. Никитина
А.В. Модели таксиса, стабилизирующие экологическую систему Таганрогского
залива // Известия ЮФУ. Технические науки №6, 2009. – С. 173 – 177.
2. Никитина
А.В. Численное решение задачи динамики токсичных водорослей в Таганрогском
заливе // Известия ЮФУ. Технические науки №6, 2010. – С. 113 – 116.
3. Сухинов
А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко Е.В. Численная реализация трехмерной модели
гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе // Математическое моделирование, 2011, vol. 23, №3, р. 3 – 21.
4. Латун
В.С. Учет кормового таксиса хамсы в математической модели системы
фитопланктон – зоопланктон – рыба // Морской экол. журнал – 2005. –№4. – С. 49
– 60.