Математика/ 5. Математическое моделирование

д.ф.- м.н. Сухинов А.И., к.ф.- м.н. Никитина А.В.

Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, Россия

Разработка комплекса программ для решения модельной задачи трофических взаимодействий планктона и рыб

в Азовском море

Цель работы заключалась в решении нелинейной пространственно-неоднородной 3D задачи взаимодействия планктона и популяции промысловой рыбы пеленгас: “фитопланктон – зоопланктон – питательные вещества – детрит – рыба” в области, представляющей собой замкнутый бассейн, ограниченный невозмущенной поверхностью водоема , дном и цилиндрической боковой поверхностью для временного интервала [1]:

(1)

где – концентрации фитопланктона (Coscinodiscus), зоопланктона (Copepoda), биогенного вещества (азота), детрита, пеленгаса; – поле течений водного потока; – передаточные коэффициенты трофических функций; – доля питательного вещества, находящегося в биомассе фитопланктона; – коэффициенты элиминации соответственно; – коэффициент, учитывающий смертность и метаболизм ; – убыль фитопланктона и пеленгаса за счет выедания; – убыль зоопланктона за счет выедания рыбами; – предельно возможная концентрация биогенного вещества; – функция источника загрязнения; – удельная скорость поступления загрязняющего вещества; – коэффициент разложения детрита; – скорость потребления органических остатков пеленгасом; – коэффициент убыли фитопланктона в результате потребления его пеленгасом; – коэффициент роста фитопланктона; – передаточный коэффициент роста концентрации пеленгаса за счет потребления фитопланктона; и – диффузионные коэффициенты в горизонтальном и вертикальном направлениях для субстанций соответственно.

К системе (1) были добавлены начальные условия вида:

(2)

и граничные условия вида:

(3)

где – учитывает опускание водорослей на дно и их затопление; – учитывает поглощение биогенного вещества детритом; – учитывает отмирание зоопланктона и пеленгаса соответственно; – учитывает опускание детрита на дно.

В трехмерной задаче (1) – (3) учитывались процессы конвекции (перемещение субстанции за счет перемещения водной среды), микротурбулентной диффузии (движение за счет теплового движения частиц), реакции (рост, размножение и отмирание клеток планктона).

Численный алгоритм для решения задачи (1) – (3) был реализован на языке Visual Studio C++ [3]. Программа позволяет задавать структуру модели, описывающей динамику взаимодействия трофических сообществ в каждой точке расчетной области. Начальное распределение популяции пеленгаса и планктона было учтено в форме, соответствующей пространственно-временным масштабам моделируемых процессов. Реализованный алгоритм численного решения позволяет свободно варьировать граничные условия, вид управляющих функций и значения соответствующих параметров. Понимание механизма функционирования системы и знание её основных характеристик позволили для преодоления трудностей при настройке программы использовать феноменологический подход. Эффективность такого подхода достаточно высока ещё и потому, что поведение системы часто определяется точностью не отдельных параметров, а их соотношений [4].

При решении модельной задачи были построены диаграммы распределения концентраций субстанций демонстрирующие изменение их концентраций с определенной периодичностью в пространстве и во времени в разрезе расчетной области на различных глубинах.

Приведем физические размеры расчетной области (Азовское море и Таганрогский залив): площадь поверхности 37605 км², длина 343 км, ширина 231 км. Расстояния между узлами сетки по длине и ширине составляли 1 км, по глубине 1 м.

При настройке программы для расчетной области использовались следующие значения масштабирующих коэффициентов:

Анализ полученных результатов показал, что математическая модель (1) – (3) адекватно отражает реальные экологические процессы на качественном уровне. На основе экспедиционных данных проведена калибровка и верификация модели, подобраны оптимальные значения параметров, в нее входящих. Устойчивость полученного решения задачи позволяет проводить вычислительные эксперименты в широком диапазоне параметров при начальных и граничных условиях различного вида.

В соответствии с направленностью работы модель учитывает особенности размножения, стадийного развития организмов и различия в длительности их репродукционных циклов. Поэтому сдвиги по времени между изменениями биомасс фитопланктона, кормового зоопланктона и пеленгаса соответствуют реальным процессам, происходящим в мелководном водоеме. Учёт различий в удельной скорости увеличения биомассы организмов разных трофических уровней осложняется ещё и тем, что физиологические процессы чувствительны к изменениям внешних условий.

С помощью построенной модели можно провести оценку, анализ и прогнозирование экологического состояния мелководных водоемов. Она позволяет уменьшить затраты на натурные эксперименты.

Литература:

1. Никитина А.В. Модели таксиса, стабилизирующие экологическую систему Таганрогского залива // Известия ЮФУ. Технические науки №6, 2009. – С. 173 – 177.

2. Никитина А.В. Численное решение задачи динамики токсичных водорослей в Таганрогском заливе // Известия ЮФУ. Технические науки №6, 2010. – С. 113 – 116.

3. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко Е.В. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе // Математическое моделирование, 2011, vol. 23, №3, р. 3 – 21.

4. Латун В.С. Учет кормового таксиса хамсы в математической модели системы фитопланктон – зоопланктон – рыба // Морской экол. журнал – 2005. –№4. – С. 49 – 60.