ПСЕВДОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

Алеуова З.Ж., Арыстанова А.Б.

 

Западно-Казахстанский государственный университет имени

 М. Утемисова

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений в виде

                               ,                            (1)

где  вектор-параметр, вектор,  матрица, вектор-функция, которые обладают свойством непрерывности и периодичности по  с периодом , такие что: 

                                                (2)

                                      (3)

и функция  удовлетворяет условию Липшица по   с константой

                                          (4)

Из условия (4) следует, что

                                                                              (5)      где , рационально несоизмеримые положительные постоянные,  множество целочисленных векторов.

Функция  называется псевдопериодической [1], если она периодическая  по  с периодом , которая при  обращается в квазипериодическую функцию с частотным базисом .

Пусть решение системы (1), с начальным условием

                                 (6)

Очевидно, что всякое ­- псевдопериодическое решение  при  имеет начальную функцию из класса .

Поставим задачу об исследовании вопроса о существовании псевдопериодических решений системы (1) при условиях (2) и (3).

Для решения этой задачи нам достаточно ограничиться решениями системы (1) с начальными функциями, удовлетворяющими условию (6).

Предположим, что соответствующая системе (1) линейная однородная система не имеет псевдопериодических решений кроме нулевого.

Тогда можно показать для ее матрицанта  условие

                                           (7)

Теперь для того, чтобы установить существование и единственность псевдопериодического решения нелинейной системы (1) будем распространять метод исследования псевдопериодических решений [2], линейной системы дифференциальных уравнений

     ,                                         (8)

на случай нелинейной системы (1), где  непрерывная –псевдопериодическая вектор-функция.

Единственное псевдопериодическое решение системы (8)  в работе [2]  представлено в виде

                                                                              (9)

где

   (10)

Решение (9) принадлежит  к пространству периодических   непрерывных при  нормой  вектор-функций . В этом пространстве ограничен оператор  , причем переводит полное  пространство     в себя  и

                                        

Действительно, что этот оператор класс  непрерывных вектор-функций  переводит в себя:

.               (11)

На основе того, что , при условии (6),  легко  будем иметь

        .             (12)

Из этих двух свойств (11) и (12) следует, что оператор   пространство  непрерывных псевдопериодических по  с периодом   вектор-функций переводит в себя:

                                                          (13)      

Так как оператор  действует на вектор-функцию поточечно, непрерывно и периодично, то он ограничен. Следовательно, для всех   имеем

                                                      (14)

где  

Таким образом, псевдопериодическое решение (9) системы (8) при помощи оператора  представили в виде  причем в силу (14) имеем оценку  

                                                                                                (15)

Теперь на основе вышеприведенного рассмотрим нелинейный оператор  определенный в шаре   пространства вектор-функций , определенный  в виде

         (16)

Далее, для установления существования единственного псевдопериодического решения нелинейной системы (1) необходимо показать, что оператор  переводит шар    в себя и является сжимающимся.

Оценим соотношение (16) при условии  (5) с учетом  и оценки (14):

                              .                                                  

Следовательно, при условиях (3) и

                                                                                           (17)

с учетом свойства (13) оператора  убеждаемся, что оператор  переводит шар    в себя, причем в силу условия (4) имеем

                                     .                                        (18)    

Так как , то из условия (17) следует, что . Тогда из (18) имеем сжатость оператора .

Следовательно, по принципу неподвижных точек [3,4] оператор  в шаре   имеет единственную неподвижную точку

 

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2)-(4), (7) и (17). Тогда нелинейная система (1) имеет единственное псевдопериодическое решение с периодом .

 В заключение рассмотрим квазипериодическую по   систему дифференциальных уравнений

                               ,                                     (19)

полученную из системы (1) при .

Теорема 2. При условиях теоремы 1 квазипериодическая по   с частотным базисом нелинейная система (19) имеет единственное квазипериодическое решение  с тем же частотным базисом.

Действительно, теорема 2 является следствием теоремы 1 при значении .

В данной работе использованы некоторые идеи методов работ [5,6] и обобщены результаты заметки [7] на случай псевдопериодических коэффициентов квазилинейных систем.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.                     Urabe M. Green functions of pseudoperiodic differential operators // Lect. Notes. Math. 1971.  -  Р.106-122.

2.                     Алеуова З.Ж. Псевдопериодические решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // III Ержановские чтения, 2010 г. (в печати)

3.                     Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости. - Москва: Наука, 1967. – 472 с.

4.                     Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: Изд-во МГУ, 1984. – 296 с.

5.                     Умбетжанов Д.У., Почти многопериодические решения дифференциальных уравненений в частных производных.               -  Алма-Ата: Наука, 1979. - 211 с.

6.                     Сартабанов Ж.А., Кульжумиева А.А., Периодические по многомерному времени решения систем уравнений с оператором дифференцирования по направлению векторного поля на торе // Евразийский математический журнал. - 2007. - №1. – С. 62-72.

7.                     Сартабанов Ж.А., Алеуова З.Ж. Псевдопериодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Вестник КазНПУ. – Алматы, 2008. №2(18).