доцент Копырин Р.Р. Северо-Восточный федеральный университет, Россия

Изпользование методов начертательной геометрии при решении задач горного дела

Обучение студентов общеинженерным дисциплинам, в том числе инженерной графике, должно вестись в постоянной связи с будущей специальностью.

Горный инженер должен уметь и составлять чертежи и обрабатывать данные геологических разведок и по ним получить графическую ,информацию об элементах залегания рудоносных залежей.

Целью данной работы являются приобретение студентами начальных навыков графических решений и построений горно-геологических задач в профиле будущей специальности и предназначенных для закрепления знаний студентов, полученных при изучении курсов «Начертательной геометрии», «Проекции с числовыми отметками», «Геологии» и «Основ горного дела».

Месторождения полезных ископаемых – это природное скопление полезного ископаемого в земной коре, отчетливо ограниченные от окружающих пород, разработка которых экономична. По форме образования месторождения полезных ископаемых могут быть пластовыми, линзообразными, штокообразными и т.д. Точно отобразить эти объекты на чертеже со всеми их особенностями практически невозможно. Поэтому графические методы решения многих задач горно-геологического дела являются наиболее целесообразными, а тотчас единственно возможным средством получить удовлетворительное решение.

В процессе разведки и эксплуатации месторождений полезного ископаемого перед геологами и горняками возникают различные горно-геологические задачи, решение которых могут быть выполнены применением некоторых приемов начертательной геометрии. Одной из таких позиционных задач является определение элементов залегания месторождений полезного ископаемого ( см. рис.1)

В связи с этим в основу содержания одной из расчетно-графических работ, кафедрой «Инженерная графика» по согласованию с выпускающими кафедрами горного факультета, заложены задачи встречающиеся в практике работы не только геолога, но и горного инженера построение изображений пласта полезного ископаемого, на основе данных буровой разведки и определение элементов его залегания, а также построение разреза по пласту.

Рис. 1

В настоящей статье рассмотрены случаи определения элементов залегания для пластовых месторождений, как наиболее простой формы образования. Пласт – это форма залегания полезного ископаемого осадочных пород в виде плиты, ограниченной двумя более или менее параллельными поверхностями (плоскостями).

В целях подчинения реальной ситуации учебным задачам сделаны некоторые упрощения обстановки, имеющих место в действительности. Например, количество скважин ограничено тремя, форма скважины в пространстве упрощена, в качестве рудного тела рассматривается пласт. С этой же целью заданы не истинные величины зенитных углов, а их проекции на фронтальную плоскость; фактическая траектория (трасса), ось разведочных скважин искривлены как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях проекций, однако они также заданы упрощенно – ломаными линиями; рельеф местности и формы залегания рудного тела упрощены.

В силу существенных отличий горных чертежей от технических, для определения элементов залегания пласта приведены совокупность метода проекций, изучаемого в начертательной геометрии и метода проекций с числовыми отметками, как одного из основных методов, применяемых в горно-инженерной практике.

В решении этой задачи нашли отражения многие разделы курса начертательной геометрии, в частности: прямоугольное проецирование точки, прямой линии, плоскости, взаимное положение плоскостей, точки, прямой и плоскости, определение истинной величины отрезка прямой, определение угла наклона плоскости, точки пересечения прямой с плоскостью, параллельность плоскостей, способ перемены плоскостей проекций и др.

Задача определения элементов залегания пласта полезного ископаемого решаются графическим способом и аналитически, при этом строго выдерживаются основные требования, предъявляемые к чертежам: наглядность и удобоизмеряемость.

Формы и пространственное положение залежи полезного ископаемого в недрах земли определяются совокупностью линейных и угловых величин, называемых геометрическими параметрами. К элементам залегания пласта относятся: углы простирания (α) и падения (δ), мощность (m) и глубина его залегания (h).

Положение линии простирания в пространстве определяется азимутом, а положение линии падения – азимутом и углом ее падения, мощность пласта (истинная) измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного на какой-либо точки плоскости кровли на плоскость подошвы. Горизонтальная мощность определяется кратчайшим расстоянием между линиями пересечения плоскостей кровли и подошвы пласта с горизонтальной плоскостью.

Истинная мощность пласта определяется позднее на разрезе пласта вкрест простирания. Положение секущей плоскости на виде сверху выбирают таким образом, чтобы скважины находились перед секущей плоскостью.

Ниже приводится пример решения задачи, которая решаются студентами Ι курса при изучении курса горно-инженерной графики.

В процессе выполнения работы необходимо решить следующие задачи:

- построить проекции точек K, L, M, P, Q и R пересечения скважинами плоскостей кровли и подошвы пласта и определить координаты этих точек;

- построить проекции плоскостей кровли и подошвы пласта;

- построить (определить) элементы залегания рудоносного пласта – азимута падения и простирания, угла падения и мощности пласта;

- построить вертикальный разрез по линии падения пласта с нанесением скважин и точек пересечения скважинами кровли и подошвы пласта.

Исходные данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные
Точки заложения скважин		А	В	С
Координаты точек заложения скважин, мм	X	95	15	30
	Y	25	56	35
	Z	200	200	200
Точка пересечения скважиной кровли пласта		К 100	L 120	M 200
Пределы изменения глубин скважин по интервалам, м		0 - 80 80 - 180	0 – 80 80 - 180	0 – 140 140 -200
Величина фронтальной проекции зенитного угла по длине интервала, град.		Левая 22 Левая 41	Правая 7 Правая14	Левая 8 Левая 18
Азимут скважин по длине интервала, град.		244 244	149 164	147 222
Глубина точки Р пересечения скважины с подошвой пласта, м		130	-	-

Построение точки Р производят таким же образом, как и построение точек K, L и M. Для построения точек R и Q используют свойства параллельных плоскостей из начертательной геометрии (по условиям задачи кровля и подошва пласта параллельны), которые заданы пересекающимися прямыми РR и PQ (РR ІІ KL и PQ ІІ KM).

Как известно, алгоритм решения задачи на пересечение прямой линии с плоскостью состоит из следующих операций:

1. Через прямую проводят вспомогательную плоскость частного положения.

2. Строят линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;

3. Отмечают общую точку для найденной линии пересечения и заданной прямой.

Основываясь на вышеназванном принципе, определяют координаты полученных точек K,L,M,P,Q и R. Полученные значения координат заносят в таблицу. Затем определяют элементы залегания пласта и длин каждой скважины от точки заложения ( устья скважины) до точки пересечения плоскостью подошвы пласта (забоя скважины).

Общий вид законченной работы показан на рис.2. а результаты решения задачи сводится в табл. 2.

Талица 2

Таблица полученных данных
Точ-ки	координаты			Элементы залегания пласта	Длина скважин, м
	x	Y	z
K	120	70	100	Угол падения пласта, δ=52^0 Азимут падения, α^h=142^0 Азимут простирания,α^u=232^0 Мощность, м: по нормали, m=38,0 горизонтальная, mг=48,0	А	150,0
L	65	75	120
M	50	60	200		В	175,0
P	133	42	130
Q	60	56	250		С	255,0
R	55	52	165

Элементы залегания пласта по координатам трех точек можно вычислить аналитически и с помощью ЭВМ, но проще – графическим путем.

Далее пример определения элементов залегания излагается без существенных изменений по А.А. Трофимову [3].

При геометризации недр (месторождений полезных ископаемых) задача на определение элементов залегания пласта по координатам трех точек встречаются довольно часто. Такими точками могут быть:

- точки входа в пласт трех скважин;

- точки выхода пласта на поверхность, точка входа скважины в пласт и точка подсечения пласта горизонтальной выработкой, например, штольней;

Рис. 2

-три точки, относящиеся к плоскости кровли или соответственно к почве пласта, зафиксированные в подземных горных выработках на разных горизонтах.

Во всех этих случаях решение одинаково. Для этого необходимо знать координаты трех точек при условии, что эти точки не лежат на одной прямой, а образуют в плане некоторый треугольник, в пределах которого отсутствуют нарушения пласта, и кровля (почва) пласта может быть принята за плоскость.

Пусть пласт на глубине подсечен тремя вертикальными скважинами

А ( 710,0; 240,0; 23,3)

В ( 775,0; 215,0; 50,0)

С ( 760,0; 290,0; 40,0)

Графический способ. Решение задачи сводится к следующему:

Рис. 3

1. По координатам наносим на план масштаба 1 : 1000 точки входа А,В и С в пласт вертикальных скважин 1, 2 и 3 и выписываем возле этих точек числовые отметки (отметки кровли пласта). 2. Соединив точки А, В и С прямыми, градуируем АС, СВ и АВ и находим на этих прямых ступенчатые отметки (по условию кратные 5 м), а затем проводим изогипсы кровли пласта.

3. Проводим параллельно оси х направление NS и при точке Р измеряем транспортиром азимут лини простирания пласта (дирекционный угол) α = 82⁰; азимут падения пласта α + 90⁰ = 172⁰; построив профиль по линии падения PQ, находим угол PQL, равный углу падения пласта ( в натуральную величину), т.е. δ = 22⁰.

Аналитический способ. Элементы залегания плоскости можно вычислить аналитическим способом. Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, заданной координатами трех точек, одна из которых помещается в начале координат, может быть записано в виде формул:

Mx + Ny + Pz = 0 M = y^12z^13 – z^12y^13 N = -(x^12z^13 - z^12x^13) P = x^12y^13 - y^12x^13

}

(1)

где x¹₂ y¹₂ z¹₂ и x¹₃ y¹₃ z¹₃ – координаты двух точек плоскости относительно точки, помещенной в начале координат.

Эти новые координаты вычисляют как разности по следующим формулам:

x^12 = x2 - x1 ; у^12 = у2 - у1 ; z^12 = z2 - z1 ;

х^13 = х3 - х1 у^13 = у3 - у1 z^13 = z3 - z1

}

(2)

Зная коэффициенты M, N и P из формулы ( 1 ), вычисляют азимут α линии простирания плоскости по формуле tgα = - M/N ( 3 )

Величину истинного угла падения δ плоскости пласта определяют по формуле:

Cos δ = P/√M² + N² + P² ( 4 ) или tgδ = √ M² + N²/ P ( 5 )

Если азимут линии простирания - α, то азимут падения пласта (α+90⁰).

Рассмотрим пример вычисления элементов залегания и порядок решения этой задачи аналитическим способом.

1. Принимаем точку входа в пласт (точку А) за начало координат. Тогда х¹_А = 0; у¹_А = 0; z¹_A = 0.

2. По формуле (2) находим новые координаты точек С и В:

x΄_с = 775,0 - 720,0 = 65,0; x΄_в = 760,0 – 710,0 = 50,0;

у΄_с = 215,0 – 240,0 = - 25,0; у΄_в = 290,0 – 240,0 = 50,0;

z΄_с = 50,0 – 23,3 = 26,7; z΄_в = 40,0 – 23,3 = 16,7.

3. По формуле (I) вычисляем коэффициенты М, N и P:

М = у΄_сz΄_в - z΄_су΄_в = ( - 25,0 х 16,7) – (26,7 х 50,0) = - 1752,5;

N = - (x΄_с z΄_с – z΄_с x΄_в ) = - (65,0 х 16,7) – (26,7 х 50,0) = 249,5;

Р = x΄_с z΄_с – z΄_с x΄_в = (65,0 х 50,0) – (- 25,0 х 50,0) = 4500,0.

4. Вычисляем по формуле (3) азимут линии простирания пласта:

Tgα = - M/N = - ( 1752.5) / 249.5 = 7.023.

откуда α = arc tgα = 81°50΄20˝ . Графически для тех же данных α= 82°.

5. Находим азимут линии падения пласта:

(α + 90°) = 82° + 90° = 172°.

6. По формуле (4) вычисляем истинный угол падения пласта:

Соs δ = 4500,0 / √(- 1752,5)² + 249,5² + 4500,0² = 0,9305, отсюда δ= 21° 01΄.

Tgδ = √M² + N²/P = √( - 1752?5)² + 249?5²/4500 = 0?3933, отсюда δ = 21⁰30¹.

Определение элементов залегания пласта с помощью ЭВМ.

Вычисление элементов залегания пласта по вышеуказанным формулам можно проделать на ЭВМ. Ниже приводится программа на языке Бейсик для ЭВМ по определению элементов залегания пласта.

5 CLS

10 REM pr 13

15 PRINT ˝Определение элементов залегания пласта˝

20 PRINT

25 PRINT ˝Исходные данные˝

30 PRINT

35 PRINT ˝Определите плоскость SIGMA,˝

40 PRINT ˝заданную 3-мя точками,˝

45 PRINT ˝Введите координаты точек А, В, С на плоскости SIGMA: ˝

50 PRINT ˝ X Y Z ˝

55 PRINT ˝А : ˝; : LOCATE, 6 : INPUT; X1: LOCATE, 16: INPUT; Y1: LOCATE, 26: IMPUT Z1

60 PRINT ˝B: ˝; : LOCATE,6: INPUT; X2: LOCATE, 16: INPUT; Y2: LOCATE, 26:INPUT Z2

65 PRINT ˝C : ˝ ; : LOCATE, 6: INPUT; X3: LOCATE, 16: INPUT; Y3: LOCATE ,26 : INPUT Z3

65 PRINT ˝C : ˝ ; : LOCATE, 6: INPUT; X3: LOCATE, 16: INPUT; Y3: LOCATE ,26 : INPUT Z3

70 PRINT

75 REM Примем точку А за начало координат и вычислим новые координаты точек В и С

80 REM Новые координаты точки В

85 X2 = X2 – X1

90 Y2 = Y2 – Y1

95 Z2 = Z2 – Z1

100 REM Новые координаты точки С

105 X3 = X3 – X1

110 Y3 = Y3 – Y1

115 Z3 = Z3 – Z1

120 REM Найдем уравнение заданной плоскости в новой системе координат в виде M_* x + N _* y + P _* z = 0 (_* - знак умножения)

130 M = Y2 _*Z3 – Z2_*Y3

135 N = Z2 _*X3 – X2_* Z3

140 P = X2 _* Y3 – Y2_* X3

145 ALFA = ATN(-M/N)

150 BETA = ATN (SQR(M^2 + N^2)/ P)

155 PI =3 .14159

160 PRINT ˝ Угол простирания пласта равен˝

165 PRINT ˝ в радианах ˝; ALFA

170 PRINT ˝ в градусах˝; ALFA /PI _* 180

175 PRINT ˝ Угол падения пласта равен˝

180 PRINT ˝ в радианах˝; BETA

185 PRINT ˝ в градусах˝; BETA/ PI _* 180

Данная работа, по существу, является первой самостоятельно выполненной студентами первого курса работой в области горного дела, и дает студентам возможность убедиться в важности инженерной графики в их предстоящей работе по специальности.

Литература:

1. Ломоносов Г.Г. Инженерная графика. М.: Недра, 1984. 287 с.

2. Ребрик Б.М., Сироткин Н.В.,Калиничев В.Н. Инженерно-геологическая

3. графика. Учебник для ВУЗов. М.: Недра, 1991. 318с.

4. Трофимов А.А. Основы маркшейдерского дела и геометризации недр.

М.. Недра, 1985. 336 с.

4. Копырин Р.Р. Горно-инженерная графика. Учебное пособие.

Якутск,2007. 207 с.