Математика/5. Математичне моделювання

Романишин Ю.М.

Національний університет “Львівська політехніка”

АПРОКСИМАЦІЯ ТА ПОБУДОВА МОДЕЛІ ФОРМУВАННЯ НЕЙРОІМПУЛЬСУ В БАЗИСІ ФУНКЦІЙ ЛАГЕРРА

Вступ. При розв’язанні ряду задач, пов’язаних з аналізом нейронів та біонейронних структур, необхідно сформувати функцію у вигляді нейроімпульсу. Використання для цього моделі Ходжкіна-Хакслі [1] пов’язане з числовим інтегруванням системи нелінійних диференціальних рівнянь, що накладає певні обмеження на можливість її застосування для дослідження нейроструктур з великою кількістю нейронів. У зв’язку з цим актуальною є задача побудови деяких достатньо простих апроксимацій нейроімпульсу з можливістю схемотехнічної реалізації його формування.

Апроксимація нейроімпульсу за допомогою функцій Лагерра. Для формування нейроімпульсу та дослідження його особливостей необхідно розкласти цей імпульс в деякому базисі, причому доцільно вибирати такий базис, який, по-перше, був би ортогональним, по-друге, його характер був би близьким до форми нервового імпульсу і, по-третє, цей розклад можна би було порівняно просто реалізувати схемотехнічно. З цієї точки зору представляє інтерес ортонормований базис функцій Лагерра, які визначаються співвідношеннями [2]:

, (1)

де - поліноми Лагерра, які визначаються виразом:

; ; . (2)

Ортонормованість функцій Лагерра на проміжку :

(3)

визначає можливість розкладу сигналу за функціями Лагерра у вигляді суми:

, (4)

де коефіцієнти визначаються співвідношенням:

. (5)

Для розкладу був використаний експериментальний нейроімпульс, наведений в [3]. З метою встановлення відповідності масштабів аргументів нейроімпульсу (часу) та функцій Лагерра розглядалися функції з вибором оптимального значення параметра . При цьому використовувалися два критерії:

1) мінімаксний: ;

2) мінімум середньоквадратичного відхилення: ,

де - експериментальний нейроімпульс; - сигнал, сформований функціями Лагерра.

В табл. 1 наведені отримані значення параметрів розкладу нейроімпульсу за функціями Лагерра.

Таблиця 1. Параметри розкладу нейроімпульсу за функціями Лагерра

Кількість складових	Оптимальне значення , мсек^-1	Максимальне відхилення, %	Оптимальне значення , мсек^-1	Середньо-квадратичне відхилення, %
5	7.52	25.6	8.05	8.96
10	18.5	8.42	13.55	1.94
15	22.48	5.81	12.64	1.41
20	27.95	3.10	27.29	0.86
25	35.47	2.20	25.28	0.46
30	40.51	1.80	26.44	0.43

Відхилення нормувалися максимальним значенням нейроімпульсу. Як видно з цієї таблиці, при однаковій кількості складових в скінченній сумі функцій Лагерра значно менше відхилення отримується при використанні середньоквадратичного критерію для визначення масштабуючого параметра .

На рис. 1 зображено апроксимацію нейроімпульсу за допомогою функцій Лагерра при 20. При малих значеннях (~10) зростає амплітуда коливань на початку імпульсу.

Рис. 1. Розклад експериментального нейроімпульсу за функціями Лагерра (1 - заданий нейроімпульс; 2 - розклад імпульсу)

Формування нейроімпульсу за допомогою функцій Лагерра. Важливою особливістю апроксимації нейроімпульсу з використанням розкладу за функціями Лагерра є відносна простота схемотехнічного формування нейроімпульсу, причому задана похибка апроксимації може бути забезпечена відповідною необхідною кількістю ланок моделі формування. Як відомо [2], перетворення Лапласа функції Лагерра має вигляд:

. (6)

Перший зі співмножників в цій формулі (з точністю до постійного множника) реалізується -фільтром нижніх частот першого порядку (при ), а решта співмножників відповідають мостовим -схемам з однаковими параметрами. Відповідна структурна схема формування нейроімпульсу зображена на рис. 2. При подачі на вхід схеми -імпульсу на виході кожної ланки формується сигнал, що відповідає складовим розкладу за функціями Лагерра, а загальний вихідний сигнал представляється у вигляді скінченної зваженої суми функцій Лагерра.

Рис. 2. Структурна схема формування нейроімпульсу за допомогою функцій Лагерра

Висновки. Використання для побудови моделі формування нейроімпульсу нелінійних диференціальних рівнянь Ходжкіна-Хакслі вимагає реалізації процедур їх числового інтегрування, що обумовлює недоцільність цього підходу при аналізі динамічних процесів в моделях біонейронних мереж з достатньо великою кількістю нейронів. Більш доцільним є побудова моделі формування нейроімпульсу на основі його апроксимації в деякому ортогональному базисі, зокрема, в базисі функцій Лагерра, який дає змогу порівняно просто реалізувати його схемотехнічно.

Література:

1. Gerstner W., Kistler W.M. Spiking Neuron Models. Single Neurons, Populations, Plasticity. - Cambridge University Press, 2002. - 5,26 MB. - http://diwww.epfl.ch/~gerstner/ SPNM/SPNM.html.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1986. – 512 с.

3. Ходжкин А. Нервный импульс. – М.: Мир, 1965. – 127 с.