Функциональное уравнение, возникающее  при восстановлении метрики по группе движений пространства Евклида

Р.А. Богданова

В данной работе методом решения функциональных уравнений решается задача о восстановлении метрики по группе движений пространства Евклида.

Ключевые слова: пространство Евклида, группа движений, метрическая функция, функциональное уравнение.

Рассмотрим пространство Евклида с метрической функцией (квадрат метрики) [1]

            (1)

 

Как известно, метрическая функция (1) сохраняется относительно преобразований шестипараметрической локальной группы движений, то есть таких гладких и обратимых преобразований [2]:

 

для которых:

                                      (2)

 

где, например, . Заметим, что якобиан . Таким образом, метрическая функция является двухточечным инвариантом группы движений.

Рассмотрим проблему восстановления метрической функции пространства Евклида по группе движений. Эта задача сводится к решению функционального уравнения (2) при неизвестной метрической функции и известных уравнений группы движений. Эти уравнения возьмем в виде:

Уравнение (2) как функциональное уравнение относительно метрической функции (1) тогда запишется так:

Дифференцируя, данное уравнение по параметрам k, t, l, φ, ψ и θ, а затем в полученных дифференциальных соотношениях придавая значения, соответствующие тождественному преобразованию: φ =0, ψ =0, θ =0, k=0, t=0, l=0, ε=1, получим систему шести линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных (3):

 

 

 

(3)

 

 

 

 

Решая исходную систему дифференциальных уравнений, находим невырожденный двухточечный инвариант f(ij):

который эквивалентен метрической функции пространства Евклида (1), переходящей в него при масштабном преобразовании .

 

Литература:

 

1.   Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: -Наука, 1979г.

2.   Михайличенко Г.Г. Двумерные геометрии. Барнаул: - Барнаульский государственный педагогический университет, 2004, 132 с.