Хасанов Ю.Х. (Душанбе, Таджикистан)

yukhas60@mail.ru

Об абсолютной суммируемости кратных рядов Фурье

в терминах поведения их коэффициентов Фурье

Пусть - линейное пространство, состоящее из функций , для которых интегрируема по Лебегу на любом к- мерном кубе пространства и удовлетворяет условию

, (1)

а при

.

Следуя А.Безиковичу [1], при любом введем следующее определение - почти-периодической функции.

Определение 1. Функцию будем называть - почти-периодической, или почти-периодической в смысле Безиковича (), если:

1. измерима и интегрируема в смысле Лебега на любом k – мерном кубе пространства ;

2.

3. Существует последовательность тригонометрических сумм

,

для которой

Пространство функций , удовлетворяющих всем условиям определения 1 будем называть - пространством, или – мерным пространством Безиковича, в котором за норму функции принимается величина (1).

Для каждой функции рассмотрим при фиксированном множество тех , для которых

.

Множество таких является счетным. Обозначим его через и назовем спектром функции по переменной .

Для каждой функции можно поставить в соответствие ее кратный ряд Фурье

(2)

где

- коэффициенты Фурье функции .

В случае, когда какие-либо из по всем ряд (2) превращается в ряд Фурье функции лишь по тем переменным, для которых хотя бы одно из .

Определение 2. Кратный ряд называется - суммируемым , если для любой совокупности индексов

выполнены условия

,

где

,

,

и (m – число индексов , равных нулю);

Теперь устанавливаем ряд утверждений, дающих критерии абсолютной чезаровской суммируемости кратного ряда Фурье функции в терминах поведения их коэффициентов Фурье.

Теорема 1. Пусть и если выполнены условия

,

где при любом , то ряд Фурье функции почти всюду - суммируем.

Теорема 2. Пусть . Если выполнены условия

,

то ряд Фурье функции почти всюду - суммируем.

Теорема 3. Пусть и если выполнены условия

,

где при любом , то ряд Фурье функции почти всюду - суммируем.

Теоремы 1-3 являются обобщением результатов Л.Лейндлера [2], в случае . Частный случай результатов Лейндлера, соответствующий - суммируемости почти всюду ряда Фурье, был установлен в работе К.Тандори [3]. Для функций аналогичные утверждения были получены в работах [4] и [5], а когда , в работе [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Besicovitch A.S. Almost periodic functions. Cambridge, 1932.

2. Leindler L. Uber die absolute summierbarkeit der orthogonalreihen // Acta sci. math., (Szeged), 1961, 22, s. 243-268.

3. Tandori K. Uber die orthogonalen functionen IX (Absolute summation) // Acta sci. math., 1960, 21, № 3-4, s. 292-299.

4. Пономаренко Ю.А. Некоторые критерии абсолютной чезаровской суммируемости кратных рядов Фурье // Доклады АН СССР, 1963, 152, №6, с. 1305-1307.

5. Пономаренко Ю.А., Тиман М.Ф. Про абсолютну сумацiю кратних рядiв Фур'е // Украинский матем. журнал, 1971, 23, № 3, с. 346-363.

6. Тиман М.Ф., Хасанов Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье некоторых классов почти-периодических функций // Украинский математический журнал. № 9, 2009, с. 1267-1276.