К.ф.-м.н., старший преподователь Курбаналиев Л.Т.

преподователь Дуйсенова Г.А.

Международный казахско- -турецский университет имении Х.А.Ясавии, Туркестан

 

Метод определения амплитудно -  частотных характеристик задачи  распространение упругих  волн   в слоистых средах

 

Рассмотрим задачу распространения плоских гармонических волн в среде, состоящей из n - слоев с плоскопараллельными границами раздела (рис. 1).

Рассмотрим два случая, когда исследуемая слоистая среда заключена: (А) - между двумя полупространствами (с индексами т=0 и т = п +1) или (В) - между свободной поверхностью и полупространством.

Задача заключается в определении амплитудных и фазовых спектров, коэффициентов отражения и преломления для всех заданных углов падения.

Предположим, что из нижнего полупространства (Z£О) падает плоская гармоническая волна с частотой W под углом θ и фазовой скоростью C от удаленного источника.


Граничные условия задачи между слоями (во всех точках площадки контакта) задаем в виде равенств: скоростей смещений скелета, напряжений твердой компоненты, давления жидкости и сохранения потока веществ.

 


Рис. 1. Модели сред и направления векторов.

                             

                                   (1)

                                 

на нижней границе эти условия имеют вид:

                        (2)

Условия на свободной поверхности:

                                                                                               (3)

Алгоритм метода. Потенциалы  и  в формуле  (3) с учетом отраженных и преломленных волн можно представить в виде [2]:

                                                     (4)                                          

где  и  - потенциалы отраженных продольных и поперечных волн;  и  - потенциалы продольных и поперечных преломленных волн.

Решение уравнения (4), удовлетворяющее граничным условиям (1-3) запишем так:

                                                                (5)

                                       

В выражении  (5) коэффициенты   являются комплексными, зависящими от частоты. Их обратные значения представим в виде:

                               

При решении сейсмологических задач предполагается  [2]:

                                             

Напряжения и давления в произвольном слое можно выразить через обобщенные потенциалы:

                            

                                                                                (6)

                                 

Далее подставим  (5) в (4) и переходя от смещений к скоростям с учетом  (6), получим соотношение в виде:

                                   

                          

                            

                                                

               (7)

Поместим начало координат на границе между т-1  и т слоями  (рис. 1), Тогда скорости смещений и напряжений на этой границе будут связаны с потенциалами этих слоев зависимостями:

                      (8)

Скорость смещений и напряжений т – слоя выражается через потенциалы в слое в виде:

                                      

                                                                            (9)

Исключим из (8) и (9) потенциалы, получим формулу, связывающую скорости смещений и напряжений на верхней и нижней границах m – го слоя:

                                                            (10)                         

Используя граничные условия, найдем соотношения для m  и   m-1 слоя:

                                                  

                          

Повторяя математические преобразования подобного рода n раз, получим связь между характеристиками нижней и верхней среды в виде:

 

                            

                                                             (11)

Подставляя в (11) вместо скоростей смещений и напряжений их выражения через потенциалы, будем иметь:

                                                             (12)

В верхнем полупространстве отсутствуют отраженные волны, поэтому справедливы соотношения . В случае падения продольных волн первого типа на нижней границе среды должно быть .   Предположим, что , тогда для второго типа продольных и поперечных волн справед­ливы выражения:

                                           

Учитывая выше изложеные, соотношения (12) можем записать в форме:

                                            (13)

где  - элементы матрицы   

Для задачи (В) система уравнений (12) имеет вид:

                                                                (14)

После некоторых математических преобразований с учетом падения каждого типа волн получим:

                                                         (15)

где  - элементы матрицы.

                                           

Действия над матрицами С, Е и решение уравнений (13) и (15) выполняются с помощью  ЭВМ. Коэффициенты отраженных и преломленных волн определяются как отношения амплитуд соответствующих волн.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1.Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. - Л.: Нау­ка, 1984.

2. Thomson W.T. Transmission of elastic waves trough a strait-fief solid material. J. Apple. Phys., 1950, 21, N2, 89-93.