Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

КІЛЬЦЕ В АКУСТИЧНОМУ ПОЛІ

Диференціальне рівняння кільцевої пластини має вигляд :

, (1)

де – бігармонічний оператор; – циліндрична жорсткість; – щільність зовнішнього навантаження (акустичний тиск); ; – радіус отвору; – бічна поверхня пластини.

Граничними приймемо однорідні умови

(2)

де – оператор диференціювання по зовнішній нормалі до бічної поверхні.

На подальше вважаємо, що права частина вихідного рівняння являється середнім значенням функції на колі

,

а кут змінюється в межах ,

тобто

. (3)

У цьому випадку можна стверджувати, що вивчаєма задача асиметрична, тому і розвязок рівняння (1) буде функцією тільки однієї змінної. В даному випадку – :

.

Для зручності подальших обчислень перейдемо до полярної системи координат. Зваживши на осьову симетрію, маємо

;

,

після чого можна стверджувати про перехід до рівняння Ейлера

(4)

з однорідними граничними умовами

; ; ; . (5)

Приймемо, що

,

де – безрозмірна величина.

Тоді

(6)

Закономірність згинного руху. Рівняння (6) неоднорідне, а тому його розв’язок складається з суми

розв’язків однорідного () і неоднорідного () рівнянь.

Одному диференціальному рівнянню

(7)

відповідає характериcтичне

,

корені якого дорівнюють:

; .

Це дозволяє записати розв’язок однорідного рівняння (7) у вигляді

, (8)

де – довільні сталі інтегрування.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння

, (9)

за припущення, що функція задана степеневим рядом

, (10)

відшукується у вигляді розвязку рівняння

, (11)

яке походить з рівняння (9).

Розвязок рівняння (11) також будується у вигляді степеневого ряду відносно , тобто

, (12)

з коефіцієнтами , що підлягають визначенню.

Підстановка співвідншень (12) в рівняння (11) надає:

(13)

Звідкіля частинний розв’язок рівняння (11) можна викласти у вигляді –

(14)

Отже, загальний розв’язок диференціального рівняння (4) можна навести наступним чином:

де окреслюється співвідношенням (8), а – формулою (14).