Технические науки/6. Электротехника и радиоэлектроника

Барсегян Ю.А.

Ереванский государственный университет, Армения

Новый метод восстановления интерферометрической фазы

Введение: Измерения двумерной фазы имеют много важных применений в разных отраслях науки. К примеру, в Интерферометрической РСА (Радиолокация с синтезированной апертурой) интерферометрическая фаза может быть использована для создания топографических карт с высоким разрешением вне зависимости от погодных условий и времени суток  при съемке [1,2,3]. При исследовании свойств гладких поверхностей используются оптические методы интерферометрии [4]. Форма волнового фронта отраженного оптического излучения зависит от характеристик поверхности. Полученные интерферограммы позволяют количественно оценить и восстановить форму исследуемых поверхностей по фазе интерференционных полос.

Ключевым этапом интерферометрической обработки изображений является операция восстановления (развертки) фазы, что означает устранение фазовой неоднозначности интерферограммы. В выше приведенных примерах полная фаза, извлеченная из реального сигнала, свернута в интервал и называется приведенной (интерферометрической) фазой. Если значение полной фазы находится за пределами интервала , то наблюдаемое значение будет свернуто в этот интервал добавлением или вычетанием кратного числа. Таким образом соотношение между приведенной фазой и полной фазой задается следующим образом

.

(1)

В упомянутых приложениях приведенная фаза бесполезна пока она не восстановлена. Восстановление производится с помощью так называемых алгоритмов восстановления фазы.

Измеренные значения приведенной фазы обычно содержат шумы, что намного усложняет процесс восстановления фазы. В этом случае уравнение (1) принимает следующий вид:

(2)

где - произвольный шум, а - наблюдаемая приведенная фаза содержащая шум. называется оператором свертки, который преобразует значения зашумленной полной фазы в главный интервал . Тем самым задача восстановления двумерной зашумленной фазы сводится к восстановлению полной фазы из зашумленных измерений , .

Методы восстановления фазы можно грубо разделить на два больших класса: методы следующие по выбранному пути (локальные) и методы минимальной нормы (глобальные). Алгоритмы первого класса основаны на поточечном суммировании дискретных градиентов вдоль выбранного пути. Алгоритмы второго класса основаны на глобальной аппроксимации полной фазы. Полный обзор описанных классов алгоритмов представлен в [5]. Разработанный метод относится ко второму классу алгоритмов, с тем лишь отличием, что аппроксимация производится поточечно (локально).

Рис. 1. Модель наблюдений

1. Модель наблюдений: Существуют различные модели наблюдения за фазой в зависимости от принципов измерений. В данной работе используется следующая модель (Рис. 1):

Допустим

(3)

является исходной полной фазой. Модель наблюдений представляется в следующем виде:

, ,

(4)

где и являются и компонентами исходной полной фазы, искаженными Гауссовским белым шумом и , соответственно. Тогда приведенная фаза вычисляется по следующей формуле:

.

(5)

Отметим, что особенно в Интерферометрической РСА и оптической интерферометрии, присутствие Гауссовского белого шума в и компонентах фазы является одной из обшепринятых моделей [6, 7, 8, 9].

При рассмотрении и от обеих частей уравнения (1) разница между полной и приведенной фазами пропадает ( и ) и полученные преобразованные измерения можно использовать для восстановления полной фазы. Приведенная фаза разрывна даже при непрерывной полной фазе из за нелинейного характера оператора свертки . Это одна из причин использования преобразованной фазы ( и ) вместо первоначальных приведенных значений фазы.

Разработанный алгоритм основан на поточечной аппроксимации неизвестной пространственно изменяющейся полной фазы из ее приведенных значений. Для этого в алгоритме используется метод локальной аппроксимации многочленами (ЛАМ, LPA) [10]. ЛАМ применяется непосредственно для поточечной аппроксимации полной фазы подбором многочлена в скользящем окне. Размер окна является ключевым параметров алгоритма.

В модели предполагается, что полная фаза является непрерывной функцией и может быть полиномиально аппроксимирована в окресности точки наблюдения .

Мы принимаем, что измеренная фаза нам дана в форме (5). Как первый шаг в алгоритме вычисляются следующие переменные

, ,

(6)

которые из себя представляют преобразованные зашумленные измерения. Исходя из формулы (2) эти зашумленные измерения могут быть представлены в следующем виде:

, ,

(7)

где ошибка , добавочная к полной фазе , является причиной ошибок в измерениях .

ЛАМ применяется для того чтобы аппроксимировать как аргумент гармонических функций представленных в уравнениях (7).

Предложенный алгоритм был назван ПАФ (поточечная аппроксимация фазы). Вклад данной статьи заключается в разработке данного алгоритма.

2. Поточечная аппроксимация фазы: Введем аппроксимационные оценки полной фазы. Предположим, что в некоторой окресности точки фаза может быть представлена в следующем виде (векторное представление усеченного ряда Тейлора) [10]:

,

(8)

где вектор неизвестных параметров, а вектор состоящий из многочленов первого порядка: , , . Функция потерь локальной аппроксимации определяется следующим образом:

(9)

Вектор неизвестных параметров вычисляется путем решения следующей оптимизационной задачи:

(10)

После нахождения неизвестных параметров аппроксимационные оценки полной фазы и ее первых производных , вычисляются следующим образом [10]:

,

,

.

(11)

Окно определяет множество соседних наблюдений и их веса в оценке для точки . Параметр в определяет размер окна и обычно используется в форме , . К примеру для прямоугольного равномерного окна для , и в противном случае.

Формулы в (10) показывают, что мы одновременно получаем оценки полной фазы и ее первых производных , . Эти оценки зависят от координат и размера окна .

Минимизация по отношению к вектору не может быть представлена в аналитической форме и требует численных рекурсивных вычислений, использующих вектор-градиент: и матрицу (Гессе) вторых производных: , где обозначает размерность вектора (в нашем случае ). Для данной минимизации использован метод Ньютона, который можно записать в следующем виде:

, ,

(12)

где последовательные итерации вектора , длина шага и градиент вычисляется для .

Путем простых вычислений вектор-градиент и матрица Гессе могут быть представлены в следующем виде:

,

(13)

(14)

Полагая, что ошибка аппроксимации мала и , можно записать уравнение (14) в следующем виде:

.

(15)

Рекурсивная процедура (12) дает оценку для любой точки при условии, что в окружности этой точки есть достаточное количество наблюдений . Если для каждой точки инициализация вектора производится независимо от всех остальных точек, то алгоритм лишь подавляет шум и не подразумевает восстановление фазы. Поэтому данная поточечная оценка используется как составляющая часть более комплексной процедуры с особой последовательностью точек расчета упорядоченных с намерением восстановления непрерывной фазы .

Блок-схема алгоритма представлена на Рис. 2. Предположим, что измеренные значения фазы даны в виде матрицы размерностью (обозначим ее как матрицу данных). Идея процедуры заключается в использовании оценок уже полученных в соседних точках для инициализации вектора в данной точке на данной итерации. Точки расчета упорядочены в виде построчной последовательности, которая стартуя с точки следует по первой строке до точки , далее переходит в точку и так далее до точки . Таким образом производится упорядочивание всех точек матрицы данных в виде последовательности .

Пусть будет оценка точки при условии, что рекурсивная процедура (12) инициирована вектором . Предложенный алгоритм может быть представлен в следующей последовательной форме:

,

(16)

(17)

Заметим, что данная рекурсивная процедура включает в себя рекурсивную поточечную оценку (12). Процедура (16) инициализируется вектором , который является оценкой первой точки . Эта оценка может быть определена из исходных опытных данных, из граничных условий или как априорная информация.

Представленный алгоритм решает две важные задачи: подавление шумов и восстановление непрерывной полной фазы. Проделанные эксперименты показывают, что точность алгоритма высока при условии, что разница между значениями полной фазы в двух соседних точках не больше чем 0.5 ÷ 1 радиан. Точность алгоритма тем выше, чем меньше данная разница, даже при высоком уровне случайного шума.

Размер окна является ключевым параметром в точности оценки фазы. Когда размер окна мал, локальная аппроксимация дает хорошее гладкое приближение фазы, но чем меньшее измерений используется, тем более чувствительна оценка относительно шума. Наилучший выбор параметра сводится к компромису между смещением и дисперсией, которые зависят от степени многочленов в ЛАМ, дисперсии шума и производных фазы порядка зависящего от использованной степени многочленов в ЛАМ.

Теоретический анализ и эксперименты показывают, что эффективность оценки локальной аппроксимации может быть существенно улучшена при правильном выборе размера окна . Окно может быть переменным или постоянным, но должно быть правильно выбрано.

Рис. 2. Блок схема алгоритма.

3. Результаты экспериментов: Для сравнения эффективности работы разработанного алгоритма были использованы результаты полученные от алгоритма, который считается одним из лучших алгоритмов по восстановлению фазы, разработанных для данных содержащих шум [11]. Для оценки точности алгоритмов была использована среднеквадратическая ошибка . В ЛАМ использовалось прямоугольноe окнo определенное на целочисленной сетке .

На Рис. 3 приведен пример исходной полной фазы (а) и приведенной зашумленной фазы (б) полученной из по формуле (5), при значении среднеквадратического отклонения Гауссовского белого шума . На рис. 3 также приведены результаты восстановления для различных значений размера окна (в)-(е). При сравнении исходной и восстановленной фаз можно заключить, что подавление шумов и восстановление произведено довольно точно.

В таблице представленной ниже приведены результаты оценки точности алгоритмов ПАФ и для исходной полной фазы представленной на Рис.3 (а). Для оценки были использованы разные размеры окна и разные значения среднеквадратического отклонения () Гауссовского белого шума в (4).

Алгоритм/	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
ПАФ, h=1	0.04	0.07	0.11	0.15	0.20	0.25
ПАФ, h=2	0.05	0.06	0.08	0.10	0.13	0.16
ПАФ, h=3	0.09	0.10	0.10	0.11	0.12	0.15
ПАФ, h=4	0.15	0.15	0.16	0.16	0.17	0.18
	0.05	0.08	0.11	0.15	0.19	0.22

Из полученных результатов можно заключить, что разработанный алгоритм ПАФ дает значительное улучшение точности восстановления, которое во многом зависит от правильного выбора размера окна . Как видно из таблицы, наилучшие результаты оценки для низкого уровня шума были получены при размере окна , а для высокого уровня шума при размере окна .

Рис. 3. a) Исходная полная фаза , б) наблюдаемая свернутая фаза с Гауссовским белым шумом , в) восстановленная фаза для значения размера окна , г) восстановленная фаза для значения размера окна , д) восстановленная фаза для значения размера окна , е) восстановленная фаза для значения размера окна .

Литература:

1. Graham L. C. – Synthetic interferometer radar for topographic mapping. In Proceedings of the IEEE, 1974, v. 62, p. 763.

2. Goldstein R. M., Zebker H. A., Werner C. L. – Satellite radar interferometry: Two-dimensional phase unwrapping. Radio Science, 1997, v. 23, p. 713.

3. Ghiglia D. C., Eichel P. H. – High-resolution synthetic aperture radar interferometry: Technology for precise terrain elevation mapping. DSP and Multimedia Technology, 1994, v. 3.

4. Arrasmith W. W., Roggemann M. C., Welsh B. M. – Optimal wave-front reconstruction for a coherent diffracted field. Applied Optics, v. 37, No. 20, p. 4457, 1998.

5. Ghiglia D. C., Pritt M. D. – Two-Dimensional Phase Unwrapping: Theory, Algorithms, and Software. New York: Willey, 1998.

6. K. Ho and J. Kahn, “Exact probability density function for phase measurement interferometry,” J. Opt. Soc. Amer. A, vol. 12, pp. 1984–1989, 1995.

7. J. Lee, K. Hoppel, S. Mango, and A. Miller, “Intensity and phase statistics of multilook polarimetric and interferometric SAR imagery,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, vol. 32, pp. 1017–1028, 1994.

8. S. Madsen, “Spectral properties of homogeneous and nonhomogeneous radar images,” IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., vol. AES-23, pp. 583–588, 1987.

9. C. Rathjen, “Statistical properties of phase-shift algorithms,” J. Opt. Soc. Amer. A, vol. 12, pp. 1997–2008, 1995.

10. Katkovnik V., Egiazarian K., Astola J. – Local approximation techniques in signal and image processing. SPIE PRESS, Bellingham, Washington, 2006.

11. J. Dias and J. Leitao, “The algorithm: A method for interferometric image reconstruction in SAR/SAS,” IEEE Trans. Image Process., vol. 11, no. 4, pp. 408–422, Apr. 2002.