Механіка
Слабенко Є.В.
Одеський національний
політехнічний університет
“Розрахунок циліндричних
оболонок методом граничних елементів”
В останній час активно
розвивається чисельно-аналітичний
метод розрахунку конструкцій, званий
Методом граничних елементів (скорочено - МГЕ), хоча велика кількість вчених
рахує, що це новий, суто аналітичний метод, а реалізація отриманих при
вирішенні тої чи іншої задачі алгоритмів – це вже суто технічна робота, яку,
так чи інакше, необхідно виконати при розрахунку за будь-якою формулою.
В даній роботі метод граничних елементів приймається для
розрахунку циліндричних оболонок постійної форми. При цьому використовується та обставина, що напружено
деформований стан таких оболонок описується тим же диференційним рівнянням, що
й НДС балок на пружній основі. А це означає, що всі розрахункові формули будуть
однаковими, а змінюватимуться тільки лиш деякі специфічні , для даного виду
завдань, коефіцієнти.
Розрахунок кругової циліндричної оболонки при
осесиметричному навантаженні
Розглянемо вигин замкнутої кругової циліндричної оболонки постійної
товщини, навантаженої по всій поверхні рівномірним нормальним тиском
інтенсивністю 
(рис. 1.1).
Рис. 1.1. Замкнута кругова циліндрична оболонка, завантажена всебічним зовнішнім
рівномірно розподіленим тиском
Через
симетрію навантаження 
щодо осі
оболонки деформація останньої буде також симетричною. Вигин такої оболонки
можна характеризувати вигином балки-смужки одиничної ширини, виділеної з
розглянутої оболонки двома меридіональними площинами (рис. 1.2).
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 1.2. До висновку
диференційного рівняння осесиметричного
вигину кругової циліндричної оболонки
На балку-смужку будуть діяти:
а)
рівномірно розподілене уздовж її довжини поперечне навантаження 
;
б)
зусилля 
, прикладені
до бічних граней балки-смужки і характеризуючи вплив відсіченої частини
оболонки. Зусилля 
спрямовані по дотичній до окружності
поперечного переріза оболонки;
в)
подовжні зусилля 
, викликані дією нормального тиску на торцеві
перебирання оболонки.
Замкнута циліндрична оболонка, обмежена по кінцях поперечними діафрагмами,
не може сприймати великих зовнішніх поперечних тисків, якщо відстань між
діафрагмами досить велика. Така оболонка може втратити стійкість навіть при
досить незначній величині зовнішнього тиску.
Найбільш ефективним засобом підвищення стійкості циліндричних оболонок є
їхнє підкріплення кільцевими замкнутими ребрами жорсткості. Останні, як
правило, ставляться на рівних відстанях друг від друга.
В цьому зв'язку розглянемо роботу на вигин замкнутої циліндричної кругової
рівномірно завантаженої оболонки, підкріпленої між поперечними діафрагмами
рівновіддаленими кільцевими ребрами площі 
(рис. 1.3).
Рис.1.3.
Схема кругової циліндричної оболонки, підкріпленої однаковими рівновіддаленими
кільцевими ребрами
Зневажаючи впливом жорсткості торцевих діафрагм на роботу
в середній частині оболонки, можна вважати, що радіальні обтиснення оболонки на
деякому видаленні від діафрагм будуть симетричні щодо площини підкріплювальних
її ребер. У силу цього можна обмежитися розглядом вигину оболонки лише в межах
одного прольоту.
Приклади розрахунку
циліндричних оболонок методом граничних елементів
Задача. Розглянемо жорстко затиснену по
торцях циліндричну оболонку постійної жорсткості, що знаходиться під дією
рівномірного зовнішнього тиску. Балкова модель такої оболонки представлена на
рис. 1.4.
Рис. 1.4. Балкова модель
циліндричної оболонки з проміжними опорами
Алгоритм
розрахунку циліндричної оболонки полягає в наступному:
1. Розбиваємо
заміняючу балку, (рис. 1.4) на три стрижні (модуля) і стрільцями вказуємо
початок і кінець кожного з них.
2. Формуємо матриці початкових і кінцевих параметрів і вектор навантаження,
з огляду на граничні умови, рівняння рівноваги і рівняння спільності переміщень
вузлів 1 і 2.
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
- |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
- |
|||
|
|
|
- |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
- |
|||
|
|
|
- |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(1.1)
Аналіз
матриці 
показує, що в
матриці 
потрібно обнулити 1, 2, 5 і 9 стовпці, а потім ввести компенсуючи
елементи для переносу кінцевих параметрів
з 
у матрицю 
.
3. Рівняння
крайової задачі для циліндричної оболонки по методу граничних елементів приймає
вид (1.1).
4. Вирішуючи
систему (1.1) у
середовищі MATLAB, одержуємо чисельні і візуальні параметри
напружено-деформованого стану оболонки.
Відповідно до
приведеного алгоритму виконаний розрахунок циліндричної оболонки постійної
жорсткості на дію внутрішнього тиску (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Циліндрична оболонка постійної
жорсткості
При
зазначених параметрах оболонки характеристичне рівняння має комплексні корені
тобто при рішенні
використовуються фундаментальні функції і вектор навантаження, отримані вище
для варіанта 1.
В результаті
розрахунків у середовищі MATLAB обчислені значення прогинів, кутів повороту,
згинальних моментів, поперечних сил і напруг. Числові значення прогинів і
напруг, обчислені з кроком 1 м у
точках верхньої утворюючої оболонки, приведені в табл. 1.1.
Приклади розрахунку циліндричних
оболонок методом кінцевих елементів у пакеті ANSYS
З метою
перевірки результатів розрахунку по алгоритму МГЕ обидві задачі вирішені в
пакеті ANSYS.
Циліндрична
оболонка постійної жорсткості
Кінцево-елементна
модель і деформована форма оболонки приведені на рис. 1.6,а,б.
Тут, як і в
MATLAB, обчислені значення прогинів, кутів повороту, згинальних моментів,
поперечних сил і напруг. Числові значення прогинів і напруг, обчислені з кроком
1 м у точках верхньої утворюючої
оболонки, приведені в табл. 1.1.
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 1.6. Кінцево-елементна модель і деформована форма
Епюри напруг
і переміщень показані на рис. 1.7,а,б.
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 1.7. Напруги і переміщення в
оболонці
Таблиця 1.1
Напруги і переміщення в оболонці
постійної жорсткості
|
Координата уздовж осі, м |
МГЕ, MATLAB |
МКЕ, ANSYS |
||
|
напруги, МПа |
переміщення, м |
напруги, МПа |
переміщення, м |
|
|
1 |
20,871 |
0,07133 |
20,796 |
0,07132 |
|
2 |
20,644 |
0,06803 |
20,796 |
0,07130 |
|
3 (опора) |
32,743 |
0,00164 |
32,530 |
0,00162 |
|
4 |
20,643 |
0,07103 |
20,796 |
0,07139 |
|
5 |
20,675 |
0,07137 |
20,792 |
0,07130 |
|
6 |
20,912 |
0,07139 |
20,796 |
0,07130 |
|
7 (опора) |
32,743 |
0,00164 |
32,530 |
0,00162 |
|
8 |
20,716 |
0,07131 |
20,796 |
0,07140 |
|
9 |
20,715 |
0,07101 |
20,792 |
0,07130 |
|
10 |
20,715 |
0,07108 |
20,792 |
0,07130 |
|
11 |
20,779 |
0,07135 |
20,796 |
0,07139 |
Порівняння
величин напруг і переміщень, обчислених двома методами (МГЭ і МКЭ), показує
їхню гарну збіжність (розбіжність складає 4-5%).
Диференційне рівняння, що визначає пружну поверхню циліндричної оболонки, обмеженої торцевими
діафрагмами і навантаженої всебічним рівномірним зовнішнім тиском, по своїй
структурі збігається з рівнянням призматичної балки, що лежить на суцільній
пружній основі, навантаженої розподіленим навантаженням і подовжньою силою.
Проведені
обчислення параметрів моментного стану оболонки методом граничних елементів по
розробленому алгоритму і методом кінцевих елементів у пакеті ANSYS показують
гарну збіжність обох методів.
Література:
1.
Численные
методы в механике / Баженов В.А., Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. и др.
— Одесса, «СТАНДАРТЪ», 2005. — 563 с.
2.
Дащенко А.Ф. Решение задач сопротивления материалов, строительной механики
и теоретической механики в среде MATLAB / Дащенко А.Ф., Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. и др. —
Одесса: Стандартъ, 2008.— 554 с.
3.
Бенерджи
П.К. Методы граничных элементов в прикладных науках / Бенерджи П.К., Баттерфилд
Р. под ред. Р.В. Гольдшейна. – М.: Мир, 1984. – 494 с.