Ибрагимов У.М., Рысбаева А.А.

Южно-Казахстанский Государственный университет, Шымкент

Разработка пакета прикладных программ устойчивости автономных периодических систем

Введение. В данной работе рассматриваются автономные системы дифференциальных уравнений, которые в правые части не входит явно независимая переменная. Задачей исследования является определение условий существования ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений.

Постановка задачи. Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть, будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений [1].

Траектории автономных систем. Будем рассматривать автономную систему в векторной форме [2]:

(1)

где функция определена в .

Автономные системы обладают тем свойством, что если решение уравнения (1), то , , также решение уравнения (1). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде .

Пусть — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что . Так как - не положение равновесия, то . Поэтому можно считать, что при . Здесь -периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (1) принадлежит одному из следующих трех типов:

· положение равновесия;

· замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

· траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

Устойчивость по первому приближению. Рассмотрим автономное уравнение (1) , где функция непрерывно дифференцируема при , причем . Тогда является положением равновесия уравнения. После замены уравнение (1) принимает вид

, (2)

где , функция непрерывно дифференцируема при и

при . (3)

Теорема 1 [3]. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (3) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (3) выполняется равномерно по . Для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения (2) необходимо, чтобы вещественные части собственных чисел матрицы были неположительны.

Из (3) и теорем 1 и 3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3. Если все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.

Экспоненциальная устойчивость. Рассмотрим уравнение (1), в котором . Обозначим через траекторию, проходящую через точку при . Предположим, что нулевое решение (1) асимптотически устойчиво, причем существуют число и функция , при такие, что при . В этом случае существуют положительные числа такие, что при справедливо неравенство

. (4)

Если имеет место оценка (4), то говорят, что нулевое решение экспоненциально асимптотически устойчиво. Например, в условиях теоремы 1 нулевое решение уравнения (2) экспоненциально асимптотически устойчиво. Более того, нулевое решение уравнения (2) экспоненциально асимптотически устойчиво при более слабых, чем в теореме 1, ограничениях на нелинейность . Достаточно, чтобы левая часть (3) удовлетворяла неравенству , где — собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию отрицательны).

Для автономного уравнения (1) из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако для неавтономных систем справедливо только первое утверждение.

Рассмотрим случай, когда исследуется устойчивость -периодического решения автономного уравнения (1). Дифференцируя тождество , получаем . Следовательно, функция является периодическим решением уравнения в вариациях .

Замечание. Уравнение (1) автономно, поэтому наряду с решением имеются и решения , , следовательно, решение не может быть асимптотически устойчивым.

Пакет прикладных программ. Созданный пакет прикладных программ предназначен для определения условий существования ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений. Матрица при производных предполагается постоянной. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений.

В пакет прикладных программ входят разделы: свойства систем дифференциальных уравнений, траектории автономных систем, устойчивость по Ляпунову, устойчивость периодических решений, устойчивость по первому приближению, экспоненциальная устойчивость и второй метод Ляпунова.

В пакете обеспечен доступ по ссылкам к любому разделу, а также возврат в оглавление. Оформлены кнопки, которые обеспечивают переход по страницам, печать документа, поиск по разделам, сведения об авторах и выход. Имеется оглавление, где каждое название раздела служит для перехода к нужной странице. Язык программирования: Borland Delphi 7.0, HTML, JavaScript. Объем пакета – 10,8 Мb. Для эксплуатации пакета предъявляются следующие минимальные системные требования:

1. IBM PC c микропроцессором Pentium 75 MHz;

2. операционная система MS Windows-9x/МЕ/NT/2000/XP;

3. 64 Mb оперативной памяти;

4. SVGA-карта (800х600, 65536 цветов).

Литература:

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. –М.: Гостехиздат, 1950.

2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. –М.: Наука, 1976. –320 с.

3. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. –М. Высшая школа, 1991. –303 с.