Математика /4. Прикладная математика/

Рябоштан А. Ф., к.т.н. Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства

имени П. Василенко

Конструирование поверхностей и обводов лопаток газовых турбин при помощи дифференциальных уравнений с частными производными

В результате решения дифференциальных уравнений с частными производными можно увязать вопросы конструирования поверхностей лопаток газовых турбин с множеством дифференциально-геометрических начальных условий. Здесь возникает несколько проблем, начиная от возможности решать то или иное уравнение и кончая необходимостью получить конкретный вид поверхности с заданными свойствами. Среди большого разнообразия уравнений необходимо выбрать подходящее, дающее желаемое множество линий, из которых потом получается поверхность лопатки газовой турбины, удовлетворяющая необходимым требованиям.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

(1)

Функция называется решением дифференциального уравнения с частными производными, если она сама и ее частные производные

(2)

удовлетворяют выприведенному уравнению (1).

В дальнейшем условия, что x и y независимые переменные, рассматриваются в некоторой ограниченной области A, а функции F и z являются непрерывными и нужное число раз и непрерывно дифференцируемыми.

Уравнение (1) можно получить из любого двухпараметрического множества функций дифференцированием по x и y и исключением параметров из полученной системы уравнений.

Известно, что решением уравнения (1) всегда будет двухпараметрическое множество функций, дифференциальным уравнением которых, в свою очередь, является (1).

Всегда будем предполагать, что

(3)

где и - частные производные F из (1) по u и v соответственно. Условие (3) гарантирует отсутствие особых точек на интегральной поверхности.

Уравнение (1) при фиксированных x, y, z дает зависимость между параметрическими координатами u и нормали к поверхности, исходящей из точки x, y, z.

Двухпараметрическое множество решений (интегральных поверхностей)

(4)

называется полным интегралом, если в рассматриваемой области ранг матрицы

(5)

равен двум, что гарантирует независимость параметров a и b друг от друга.

Из полного интеграла путем дифференцирования и исключения можно получить все множество решений уравнения (1), зависящее от произвольной функции. Каждое индивидуальное решения может быть получено установлением произвольной функции с последующим дифференцированием полученного уровня по а из и (построение огибающей). Функцию b(a) мы будем определять из условия удовлетворения исходных данных.

Кроме полных и общих интегралов различают особые интегралы, выражающие собой огибающую двухпараметрического множества (4) и определяемую из системы

, , (6)

Заметим, что особый интеграл можно получить из дифференциального уравнения (1), составив систему

(7)

Геометрический образ, выражаемый особым интегралом, является огибающей множества интегральных поверхностей, определяемых общими интегралами, полученными из полного.

Основной прием, при помощи которого мы будем конструировать поверхности лопаток газовых турбин, будет состоять в получении полного интеграла, из которого выделяется общий в результате удовлетворения заданным условиям.

Уравнение первого порядка гладкости независимо от его вида (линейное, нелинейное…) в результате решения дает одну свободную функцию, что, вообще говоря, может удовлетворять начальным условиям в виде инцидентности заданной кривой или касания к заданной поверхности.