М.П. Ленюк, О.М. Ленюк
Чернівецький національний
університет імені Юрія Федьковича
Запровадження гібридного інтегрального перетворення типу
Бесселя – Ейлера – Лежандра на полярні вісі
Нехай – диференціальний оператор Бесселя [1];
– диференціальний оператор Ейлера [2];
–узагальнений
диференціальний оператор Лежандра [3];
.
Розглянемо гібридний
диференціальний оператор (ГДО)
(1)
Означення: За область визначення ГДО приймемо множину G вектор-функцій
з такими
властивостями: 1) вектор-функція
неперервна на множині
2) функції задовольняють крайові умови
(2)
3) функції задовольняють умови спряження
(3)
Вважаємо, що виконані умови на
коефіцієнти: ,
.
Оператор як сполучення самоспряжених операторів є самоспряженим
оператором і має одну особливу точку
. Тому його спектр дійсний та неперервний [4]. Можна вважати, що
спектральний параметр
. Йому відповідає спектральна вектор-функція
.
Функції задовольняють крайові умови (2), умови спряження (3) та
диференціальні рівняння
(4)
Фундаментальну систему розв’язків
для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції
та
[1]; фундаментальну систему розв’язків для
диференціального рівняння Ейлера
утворюють функції
та
[2]; фундаментальну систему
розв’язків для диференціального рівняння Лежандра
утворюють функції
та
,
[3].
Покладемо
(5)
Крайові умови (2) та умови
спряження (3) для визначення величин дають алгебраїчну систему з п’яти
рівнянь:
(6)
У системі (6) беруть участь
загальноприйняті функції [4].
Візьмемо де
підлягає вибору. Перше рівняння в системі (6) стає
тотожністю, а інші рівняння утворюють дві алгебраїчні системи по два рівняння в
кожній.
Розглянемо першу алгебраїчну
систему:
(7)
Визначник алгебраїчної системи
(7)
За правилами Крамера [5] отримуємо:
(8)
Розглянемо другу алгебраїчну
систему:
(9)
Визначник алгебраїчної системи
(9)
Тут бере участь функція
Згідно правил Крамера [5] маємо
при ,
що
(10)
Підставивши в рівності (5) визначені
згідно рівностей (9), (10) величини , одержуємо функції:
(11)
Визначимо вагову функцію
та спектральну щільність
.
Тут беруть участь величини:
,
, s3 =
.
Наявність спектральної функції ,
вагової функції
та спектральної щільності
дозволяє запровадити гібридне
інтегральне перетворення, породжене на множині
ГДО M
:
, (12)
. (13)
Математичним обґрунтуванням
формул (12), (13) є твердження.
Теорема 1 (про інтегральне
зображення). Якщо вектор-функція
неперервна абсолютно
сумовна й має обмежену варіацію на множині
,
то для будь’якого
має місце інтегральне зображення
(14)
Доведення. В основі доведення лежить
невласний інтеграл
(15)
Функція неперервна, абсолютно сумовна з обмеженою варіацією на множині
.
Припустимо, що функція
(16)
Помножимо рівність (16) на вираз ,
де
– довільне додатне
число, й проінтегруємо від
до
. Внаслідок рівності (15) одержуємо:
.
Підставивши в рівність (16)
функцію одержуємо інтегральне зображення (14)
Зауваження: Якщо вектор-функція кусково-неперервна,
то зліва в (14) треба замість
писати
Застосування запровадженого
формулами (12), (13) гібридного інтегрального перетворення до розв’язування
відповідних задач математичної фізики неоднорідних середовищ базується на
основній тотожності інтегрального перетворення ГДО ,
визначеного рівністю (1).
Теорема 2 (про основну
тотожність). Якщо вектор-функція f(r) = {;
} неперервна на множині
,
а функції
задовольняють крайові умови
(17)
та умови спряження
(18)
то справджується основна тотожність інтегрального
перетворення ГДО , визначеного рівністю (1):
-
+
+ (19)
У рівності (19) прийняті
позначення:
,
;
,
,
, i,k = 1, 2.
Доведення. Згідно формули (12)
+
Проінтегруємо під знаком
інтегралів два рази частинами:
(20)
В силу диференціальних рівнянь,
які задовольняють функції ,
знаходимо тотожності:
(21)
При маємо:
(22)
В силу граничної рівності (17)
позаінтегральний доданок при обертається в ноль.
На підставі базової тотожності
при маємо
послідовно:
(23)
(24)
Ми прийняли до уваги, що в силу
вибору ,
та