С.Г. Блажевський, М.П. Ленюк

 

Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Фур’є- Фур’є-Ейлера на декартовій вісі

 

Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області

D2 = {(t, r): t Î (0, ¥), r Î I2 = (–¥, R1)  (R1, R2)  (R2, ¥); R2 > R1 > 0}

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [1]

                           = f1(t, r), r Î (–¥, R1),                         

                            = f2(t, r), r Î (R1, R2),                             (1)

                    = f3(t, r), r Î (R2, ¥)       

за початковими умовами

                 uj(t, r)|t = 0 = gj(r), r Î (Rj – 1, Rj), j = , R0 = –¥, R3 = ¥                    (2)

та умовами спряження

                             –

          – , j, k = 1, 2.        (3)

          Припустимо: 1) функції fj(t, r), wjk(t) та uj(t, r) є оригіналами за Лапласом стосовно t [2]; 2) виконані умови на коефіцієнти: c11, k c21, k > 0, cj1, k = , ,  cj2, k º  = 0,  º ; 3)  – диференціальний оператор Ейлера [3]; 2a + 1 > 0.

          У зображенні за Лапласом параболічній задачі (1) – (3) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині I2 розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є та Ейлера для модифікованих функцій

                          , r Î (–¥, R1),                        

                          , r Î (R1, R2),                              (4)

                             , r Î (R2, ¥)                                   

за умовами спряження

, j, k = 1, 2.       (5)

          У рівностях (4), (5) прийняті позначення:

, , j = ,   +

+ [] º , j, k = 1, 2;

, , .

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d2/dr2 – q2)v = 0 утворюють функції v1 = exp(qr) та v2 = exp(–qr) або їх лінійні комбінації chqr та shqr [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера (– q2)v = 0 утворюють функції v1 = r–a – q та v2 = r–a + q [3].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі методом функцій Коші [3, 4]:

                        ,

                  ,                      (6)

                     ,

.

          Введемо до розгляду функції:

,

,

,

,

,

.

          Безпосередньо перевіряється, що в рівностях (6) беруть участь функції Коші:

           (7)

(8)

                  (9)

, j, k = 1, 2.

          Умови спряження (3) для визначення чотирьох величин A1, A2, A3 та B2 дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                      ,                            

                 

                     ,                      (10)

.

          У системі (10) беруть участь функції:

+,

+.

          Визначимо функції:

A j(p) = D2j(q2R1, q2R2) – D1j(q2R1, q2R2),

Ba, j(p) =  – , j = 1, 2;

 – ,

 – .

          Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної задачі: для p = s + is з Rep = s > s0, де s0 – абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥) визначник алгебраїчної системи (10)

Da(p) º Ba, 2(p) – Ba, 1(p) =

                           = A1(p) – A2(p) ¹ 0.                            (11)

          Введемо до розгляду головні розв’язки  крайової задачі (4), (5):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ,

, ,                 

, ,                 

, ,

, ;                               (12)

3) породжені неоднорідністю системи (4) функції впливу

,  ,

,  ,             

, ,

        (13)

          У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (10), підстановки одержаних значень Aj (j = ) та B2 у формули (6) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (4), (5):

 =  +  +

+  + , j = .          (14)

          Повертаючись у формулі (14) до оригіналу, одержимо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) – (3):

 =  +

+  +

+  +

+ , j = ,                    (15)

d+(t) – дельта-функція, зосереджена  в точці t = 0+ [4].

          У рівностях (15) беруть участь функції Гріна умов спряження

                 , k, m = 1, 2, j =                    (16)

та функції впливу

                    , j, k = .                      (17)

Останні породжені дією неперервно розподілених теплових джерел.

          Подамо формули (27) – (29) в розрахунковому вигляді.

          Особливими точками функцій (p, r) та (p, r, r) є точки галуження p = – (j = ) та p = ¥. Оскільки ці точки знаходяться на від’ємній дійсній піввісі, то можна в інтегралах (16), (17) „сісти на уявну вісь”:

                , k, m = 1, 2, j = ,                  (18)

                    , j, k = ,                      (19)

Тут Re(...) означає дійсну частину виразу (...).

          Зауваження 1. Можна вважати, що ykm = 0. В протилежному випадку переходимо до нових початкових умов

 = g1(r) – b1,  = g2(r) – (a2r + b2), (r) = g3(r) – b3,

й вибираємо числа a2 та b1, b2, b3 із алгебраїчної системи

aj()+bj – [aj+1 () + bj+1] = yjk, j, k = 1, 2; a 1=a3=0    (20)

         

Література:

1.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с. 

2.     Лаврентьев А.М., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

3.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз., 1959. – 468 с.

4.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.