Влазнева А.Ю.

Одесский национальный политехнический университет, Украина

Анализ напряженно-деформируемого состояния упругих элементов с учетом нелинейных факторов

Листовые рессоры являются упруго-диссипативными элементами, работающими преимущественно на изгиб. Выделяется ряд нелинейных факторов, оказывающих на него существенное влияние, не учитываемое стандартными методами расчета.

В первую очередь, это большие прогибы балок, входящих в состав упругих элементов, а также дополнительные нелинейные факторы, обусловленные наличием контакта и трения между листами в собранном пакете.

Также необходим учет контактной нелинейности, истории нагружения рессоры, воздействие износа на функционирование листовых рессор.

Геометрически нелинейный изгиб

Требования, предъявляемые к элементам рессорного подвешивания таковы, что они должны с одной стороны не терять своих упругих свойств в процессе эксплуатации, т. е. оставаться физически линейными; а с другой стороны — обеспечивать большие вертикальные перемещения (в случае работы на изгиб — прогибы), как правило, сопровождающиеся существенным изменением формы упругого элемента. Это влечет за собой геометрическую нелинейность.

Геометрически нелинейный изгиб подчиняется основному дифференциальному уравнению упругой линии:

(1)

где — жесткость балки на изгиб; — изгибающий момент от внешней нагрузки в данном сечении; — координата, измеренная вдоль упругой линии балки; — угол поворота сечения. При этом кривизна не может быть заменена второй производной прогиба , как в линейном случае.

Ж. Л. Лагранж рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (рисунок 1).

Рисунок 1 - Консольная балка

Для консольной балки с постоянным по длине поперечным сечением, нагруженной на конце изгибающей силой, уравнение эластики (1) имеет вид

(2)

где — горизонтальная координата сечения; — горизонтальная координата концевого сечения; — приложенная нагрузка.

Для концевого сечения это уравнение решается последовательным приближением трансцендентного уравнения

(3)

где

Решения для консольных балок могут быть применены и к симметрично нагруженным свободно опертым балкам, поскольку половина свободно опертой балки аналогична консольной балке.

В общем трехмерном случае балки, изогнутой моментами и силами, приложенными на концах, дифференциальные уравнения эластики имеют такую же форму, как и уравнения движения тяжелого тела, вращающегося относительно неподвижной точки. Это динамическая аналогия Кирхгофа.

В последнее время появилось много новых исследований динамики стержневых и плоских систем, основанных на методах теоретической механики. С помощью этих методов можно получить вполне приемлемые формы нелинейно-изогнутых стержней, несмотря на некоторую упрощенность подходов (как правило, учитывается только изгиб и кручение). Современные работы основываются на тенденции создания специализированных быстродействующих расчетных методов, ориентированных на определенный класс задач и учитывающих все его особенности, взамен универсальных, но зачастую неэффективных методов расчета конструкций.

Контактное взаимодействие

При решении контактной задачи Г. Герцем были введены следующие допущения:

- поверхности контактирующих тел описываются уравнениями второго порядка;

- размеры поверхности контакта малы по сравнению с размерами тел;

- тела сжимаются усилием, действующим по нормали к поверхностям, проходящей через точку начального контактирования;

- тела абсолютно гладкие, коэффициент трения скольжения в контакте равен нулю.

Однако существует большое количество задач, которые не могут быть решены с использованием решения Герца. К ним относится и задача о контактировании тел с близкими по абсолютному значению, но обратными по знаку радиусами кривизны. Первым ее решение для цилиндрического валика и близкого ему по размеру отверстия дал И. Я. Штаерман, хотя внедрение его решения в практику затруднено из-за слишком общей формы, предопределяющей большой объем вычислительной работы до получения результата. Для оценки контактных давлений им предложена приближенная формула

(4)

где — интенсивность контактных давлений; — внешняя нагрузка; — меньший из радиусов; — угол охвата контакта; — угловая координата.

Численные методы анализа напряженно-деформированного состояния конструкций позволили приблизить расчетные схемы к реальным объектам. Однако сложность решения контактных задач состоит в том, что, в общем случае, неизвестна область контактирования тел, а также усилия в узлах конечно-элементной сетки, расположенных в этой области.

Одним из прямых методов является метод разъединения контактирующих тел. Пусть тела А и В вводятся в контакт за счет кинематического смещения защемления тела В. В узлах, расположенных на поверхности контакта при этом возникают усилия . Разъединим тела и запишем выражения для перемещений этих узлов и условие совместности деформаций:

(5)

где , — коэффициенты податливости для узлов тел А и В; — первоначальный зазор; — вектор жестких смещений защемления; — матрица кинематических преобразований.

Уравнения (5) образуют систему, позволяющую определить усилия в контактных узлах. При известных размерах контактной поверхности они позволяют сразу найти неизвестные. Если же размеры контактной поверхности неизвестны, необходимо прибегать к итерационной процедуре. Если после решения системы уравнений (5) будут получены положительные давления на одном из концов контакта, зону контакта необходимо удлинить на этом участке.

Износ поверхности

В результате взаимодействия твердых тел возникает их износ, заключающийся в изменении геометрии их контакта за счет отделения от поверхности трения частиц материала и/или появлении остаточных деформаций. Изнашивание сопровождается как чисто механическими проявлениями, так и физико-химическими явлениями.

Протекание изнашивания зависит от состояния поверхностей, давления, относительной скорости соприкасающихся тел, материала пары трения, свойств окружающей среды, температуры, наличия в зоне контакта посторонних включений и т. д. Существует, практически, только два качественных соображения, касающихся износа:

— износ увеличивается по мере эксплуатации, но, как правило, нелинейно;

— глубина износа уменьшается при увеличении площади контактирующих поверхностей.

При исследовании изнашивания сформулированы несколько теорий: адгезионная, усталостная, энергетическая теория изнашивания.

Хотя все эти теории базируются на различных механизмах изнашивания, они дают пропорциональную зависимость между объемом износа и работой сил трения :

(6)

Интенсивность изнашивания может варьироваться в широких пределах. В результате различных лабораторных измерений были получены значения интенсивности изнашивания для стали .

При использовании для определения силы трения закона Кулона формула (6) для точки А контакта двух тел запишется как

(7)

где — уменьшение толщины контактирующих тел или линейный износ в области, прилегающей к точке за время от до ; — коэффициент трения; — контактное давление в точке ; — площадь области, прилегающей к точке ; скорость относительного движения контактирующих элементов.

При анализе напряженно-деформированного состояния упруго-диссипативных элементов, работающих преимущественно на изгиб, во многих случаях прослеживается ряд существенных преимуществ перед другими вариантами рессорного подвешивания.

Литература:

1. Пархиловский И. Г. Автомобильные листовые рессоры. Теория, расчет и испытания – 2-е изд., перераб. и доп.- М. Машиностроение, 1978. - 227с.

2 Костецкий Б. И. Трение, смазка и износ в машинах. – Киев, «Техника», 1970. – 396с.