Математика/ 1 Дифференциальные

                                                                                                      и интегральные уравнения

 

К. физмат наук Пуды А.Е.

Харьковский национальный педагогический университет

им. Г.С. Сковороды

Асимптотика решения одной задачи типа Стефана

 для малого времени

       При исследовании процессов плавления и сваривания электрических контактов возникает класс задач, относящихся к стефановскому типу, но имеющих ту особенность, что неизвестная функция, описывающая закон движения поверхности фазового перехода, входит не только в условие Стефана, но и в уравнение теплопроводности. Рассмотрим одну из типичных задач этого класса.

       Требуется найти решение системы уравнений:

                     ,         ,                          (1)

                      ,            ,                         (2)

удовлетворяющих следующим начальным условиям:

                      ,                (3 а)            ,                      (3 в)

граничным условиям:

                      ,                (4 а)            ,                      (4 в)

                      ,            (5 а)            ,                        (5 в)

и условию Стефана на границе раздела двух фаз:

                      .                                    (6)

Здесь - коэффициент температуропроводности,  температура, константа,   коэффициент теплопроводности,  радиус модельной сферы идеальной проводимости [1], закон движения сферической поверхности фазового перехода. Индекс  относится к жидкой фазе, а  - к твердой. Будем предполагать, что в окрестности   начальное распределение температуры в твердой фазе может быть представлено в виде:

                     

и

                                            при            

       Эти предположения легко проверить, анализируя решение задачи о нагреве контактов до момента плавления, которым определяется функция  [2].

       Получить точное решение задачи (1) - (6) не представляется возможным. Однако в связи с тем, что процесс плавления и сваривания контактов весьма быстротечен (его длительность не превышает, порядка  сек.), весьма полезным как с практической, так и теоретической точки зрения является изучение поведение решения при малом значении времени. С этой целью произведем замену:

       ,       ,     ,    ,   ,               ,                              

Тогда задача (1) - (6) в безразмерной форме запишется в следующем виде:

                      ,                      ,             

                                       ,             

                                       ,                    ,                         

                      ,                         ,               

                      ,                    ,                       

                      ,                  

где

                   , ,  ,       ,        

       Решение задачи  будем искать в следующем виде:

                                     

                          ,         (7)

       ,          (8)

где

                         

                                      ,                         (9)

                          .   (10)

       Очевидно, что функции (7) и (8) удовлетворяют уравнениям , и условиям ,  для любых

       Для определения этих неизвестных величин используем условия , ,,,, которые приводят к следующим интегральным уравнениям:

       ,                                      (11)

       ,     (12)

       ,                        (13)

              +

      

       ,          (14)

       где

                          ,

                          .

       Для сокращения записи введем следующие обозначения:

       ,

                          ,

                          ,

                          ,

                          ,

                          ,

                          .

Подставив (11) в (12) и (14), получим следующую операторную запись системы интегральных уравнений:

       ,                     (12*)

                                      ,                                          (13*)      

                         

                          ,                             (14*)

где

                          =

                         

                          +

                          ,

                         

                          .

       Пусть , ,  для малых значений . Будем предполагать, что  

       Легко видеть, что

       , , где ,

,  где ,,

       , , где ,                        (15)

       ,         где , ,

       ,                где ,

       , где , .

       Пользуясь этими свойствами интегральных операторов, можно найти:

       ,            ,    ,    ,

и, следовательно, главные члены разложения искомых функций имеют вид:

       ,                 ,

       ,               .

       Система интегральных уравнений(11)-(14) позволяет определить не только главные но и последующие члены разложения искомых функций если эти функции представить в виде ряда по степеням ,

 

       Литература:

1.     Хольм Р., «Электрические контакты», ИЛ, 1961.

2.     Пуды А.Е., Харин С.Н., « Нестационарный нагрев замкнутых контактов с учетом температурной зависимости коэффициентов», Тезисы IV Казахской межвузовской конференции по математике и механике, Алма-Ата, 1971.

       e-mail: apudy@mail.ru