Математика/5. Математичне моделювання

Сердюк М.Є.

Національна металургійна академія України

Задача реконструкції статичних зображень за їх каркасною інтерполяцією.

Вступ. Актуальними на сьогодні є задачі обробки цифрових зображень. Каркасна інтерполяція передбачає відтворення значення породжуючих функцій довільних зображень в околі тієї частини їх топографічної карти, яка містить вихідну дискретну сітку. Нехай - довільний допустимий каркас для зображення , а є відповідною каркасною інтерполяцією для , тобто його образ на піксельну сітку співпадає з , . Тоді проблемою реконструкції зображення будемо називати задачу інтерполяції функції на множину за її значеннями на каркасі таким чином, щоб результуюче зображення задовольняло б принципу "неперервного подовження" Gestaltist'a [4]. Дана робота ставить за мету започаткувати варіаційний підхід до розв’язання таких задач.

Попередні теоретичні положення. Введемо до розгляду функціональні простіри: та , де , Q - обмежена вiдкрита множина в з кусково гладкою границею. Нехай - довільна фіксована функція така, що , - зовнішня одинична нормаль до границі . Будемо казати, що пара (u,v) належить графіку оператора (), якщо , і при цьому існує розподілення таке, що:

майже скрізь на . (1)

Означена таким чином множина є завжди непустою. Проте далеко не для кожної пари крайова задача (1) має розв’язок в класі . Наведемо низку результатів, які торкаються властивостей оператора .

Твердження 1. Оператор є монотонним, тобто

Твердження 2. Оператор є секвенційно замкненим в добутку сильної топології на та топології -слабкої збіжності на , тобто, якщо , в , а в , то .

Для доведення цих тверджень використовується формула Гріна, теорема Банаха-Алаоглу, властивість напівнеперервності знизу варіації функції з BV(Q) ([1], [2], [3]).

Постановка задачі реконструкції зображень. Нехай - відкрита підмножина , - регулярне зображення, для якого , - допустимий каркас для I. Позначимо . Нехай є каркасною інтерполяцією зображення I. В цьому випадку ,

.

Нехай є векторним полем напрямків градієнтів функції на В, яке задовольняє наступні умови:

(2)

як міри на В. (3)

Ми будемо завжди припускати, що має слід на границі множини . Проте, за побудовою границя каркаса завжди підлягає декомпозиції на дві складові

, де . В зв’язку з цим вважатимемо, що є заданими дві функції та такі, що

майже скрізь на , майже скрізь на .

Задача реконструкції зображення полягає в визначенні функції та векторного поля таких, що є подовженням поля на множину , при якому:

1) функція є близькою за метрикою до функції ;

2) та майже скрізь на ;

3) кривизна ліній рівнів в області є мінімальною, тобто .

Таким чином, поле повинно, з однієї сторони, успадковувати геометрію поля градієнтів функції u, а з іншої, на границі бути близьким до поля . Зауважимо також, що виконання умови в загальному випадку неможливо. Дійсно, якщо , що є типічним для ділянок зображення з постійною інтенсивністю, то . Отже, його нормалізація за правилом , що є типовим для гладких функцій, неможлива.

Для формальної постановки задачі введемо наступний функціональний простір

(4)

На елементах простору означимо функціонал:

(5)

Тут - невід’ємні вагові коефіцієнти, - регуляризуюче ядро таке, що k(x)>0 всюди на . Через позначено оператор згортки

.

Означення 1. Будемо казати, що зображення є результатом реконструкції за каркасною інтерполяцією його дискретних значень на дискретній сітці , якщо для всіх , , де

(6)

а пара є розв’язком наступної варіаційної задачі

(7)

Наведемо деякі пояснення щодо вибору структури цільового функціоналу (5). Наявність в ньому виразу продиктована принципом "неперервного продовження" Gestaltist'a [4], згідно з яким ті лінії рівня, які перетинають границю каркасу повинні зберігати свій напрям близьким до на . Терм є релаксаційною формою умови близькості функцій та на множині . Що торкається виразу , то значення оператора дивергенції на розподіленнях зазвичай асоціюють з кривизною ліній рівня реконструйованого зображення. Отже, мінімізація виразу М передбачає такий спосіб реконструкції зображення, при якому кривизна ліній рівнів була би мінімальною.

Основним результатом даної роботи є наступне твердження.

Твердження 3. Нехай - задані невід’ємні величини, - довільна функція. Тоді при кожному значенні знайдеться таке, що множина розв’язків задачі (7) є непустою.

Висновки. Таким чином, запропоновано варіаційна постановка задачі відтворення статичних зображень за результатами їх каркасної інтерполяції та встановлені достатні умови її розв’язності на класі функцій з обмеженою варіацією.

Література:

1. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечномерными системами, Киев: Наукова Думка, 1999.

2. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.

3. Giusti E. Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhäuser, Boston, Basel, 1984.

4. Kanizsa G. Gramática de la visión.- Paris: Paodis, 1986.