Физика/1.
Теоретическая физика
Донецкий
национальный технический университет, Украина
Автомобильно-дорожный
институт
Равновесные конфигурации скалярных
частиц в
пространстве с кручениемСкалярный потенциал в одноторсионной космологии
Эйнштейна -Точно интегрируемая
модель в космологии Эйнштейна – Картана
Общеизвестно, что в рамках
статистического подхода в общей теории относительности (ОТО) получен ряд важных
результатов (см., например, [1 - 4]). Они свидетельствуют о
плодотворности метода общерелятивистской кинетики в ОТО.
Несомненный
интерес представляет построение
статистического подхода в актуальном варианте пуанкаре-калибровочной теории
гравитации – теории Эйнштейна-Картана (ТЭК). В
работе рассматриваются равновесные статистические системы бесстолкновительных
скалярных частиц во взаимодействующих скалярном и векторном полях в пространстве
с кручением.
Кинетические
уравнения для бесстолкновительного газа скалярных частиц в ТЭК имеют
вид [5]:
, (1)
где - скалярный заряд,
- оператор
ковариантного дифференцирования по Картану [6],
- функция распределения.
Интегрируя
(1) по пространству скоростей, для векторов потока числа частиц, получим
,
(2)
Лагранжиан
системы выбираем в виде:
(3)
Здесь
- скалярная кривизна связности
;
- символы Кристоффеля
2-го рода;
- тензор
кручения;
- тензор векторного поля,
;
,
,
- масса векторного
и скалярного бозонов;
- параметр взаимодействия;
- инвариант векторного
поля;
- скалярная плотность
зарядов; функция
удовлетворяет условию
[7]:
.
Варьируя
действие с лагранжианом (3) независимо по ,
и
получаем систему
уравнений ТЭК, которая совместно с уравнением Власова (1) определяет
кинетику скалярных частиц во взаимодействующих скалярном и векторном полях в
пространстве с кручением с фиксированной метрикой:
,
(4)
,
(5)
,
(6)
где ;
;
= ковариантный
оператор в ТЭК;
,
,
.
Из
уравнений (4) и (5) получим
,
.
(7)
В
работе рассматриваются стационарные распределения частиц, поэтому накладываются
требования:
,
,
,
(8)
где - производная Ли
пространства Римана.
В
пространстве Минковского ,
,
4 - потенциал
векторного поля возьмем в виде
. Из условий стационарности (8) получим
,
.
Полагая
для простоты, что и
, приведем уравнение для векторного поля (5) к виду
(9)
где .
Для
больцмановской функции распределения выражения для и
в пространстве
Минковского были получены в работе [8].
Для системы разноименно заряженных скалярных частиц в приближении слабого поля
они имеют
вид:
,
, (10)
где -
концентрация частиц при нулевом значении скалярного потенциала;
;
- модифицированная
функция Бесселя.
В
приближении слабого поля уравнение для скалярного поля (6) преобразуется к виду:
. (11)
Полагая
в (11) и интегрируя это
уравнение один раз, приходим к следующей связи между
и
:
, (11)
где - постоянная
интегрирования.
Выбирая
конкретный тип взаимодействия из (12) находим
, тогда общее решение уравнения (9) имеет вид:
,
(13)
где - постоянные
интегрирования.
Приведем
решения для наиболее интересного
частного случая, когда :
1) ,
,
, (14)
2) .
,
(15)
3) .
,
(16)
Из
(14) – (16) следует, что в присутствии безмассового векторного поля
для скалярного поля получено решение типа "кинк".
Поскольку в рассматриваемом приближении концентрация скалярных частиц прямо
пропорциональна , то, следовательно, решения (14) – (16) соответствуют
равновесным кинковым конфигурациям бесстолкновительного газа.
Нетрудно
провести сравнение полученных решений системы уравнений векторного (9) и
скалярного (11) полей с соответствующими решениями в пространстве без кручения,
как в присутствии взаимодействия , так и в отсутствии его. Результаты анализа таковы:
1) В пространстве
с кручением, индуцируемым безмассовым векторным полем, при отсутствии
взаимодействия между полями возможны пространственно - однородные
распределения бесстолкновительного газа
. Соответствующее значение векторного потенциала
есть
. При "включении" взаимодействия возможны
как пространственно однородные распределения с тем же векторным
потенциалом, так и три вида равновесных кинковых конфигураций при
соответствующих значениях векторного потенциала (14), (15) и (16).
2) В пространстве
без кручения в случае также возможны
пространственно-однородные распределения газа. Однако
при "включении" взаимодействия кинковые решения отсутствуют.
Таким образом, образование
кинковых конфигураций в данном случае, может свидетельствовать о том, что
статистическая система бесстолкновительных частиц находится в пространстве с
кручением.
Недавние астрономические и
космологические наблюдения [1, 2] свидетельствуют в пользу
пространственно – плоской Вселенной, которая доминирована темной энергией и находится
на стадии ускоренного расширения. Однако, в настоящее
время, преждевременно полностью
пренебрегать пространственной кривизной.
В этой связи необходимо отметить работы
(см, например, [3 - 5]). Характерная
особенность современной космологии – существенно
возросшая точность
измерений, позволяет специалистам, работающим в этой области, говорить об эпохе
"прецизионной космологии" [6, 7]. В этом контексте большой интерес
представляют точные космологические решения, которые дают
возможность выяснить детальную картину
эволюции моделей.
В работе в рамках проблемы выбора
кандидата на роль темной энергии и существования точно интегрируемых
космологических моделей в теории Эйнштейна – Картана (ТЭК) с
неминимально связанным скалярным полем [8-13] рассматриваются закрытые модели
для духового (ghost) скалярного поля с учетом его потенциала и
ультрарелятивисткого газа. Интерес к
потенциалу скалярного поля V(Ф) в
общерелятивистских теориях гравитации обусловлен рядом обстоятельств: его
ролью в изотропизации анизотропных космологических моделей,
его учетом в моделях с
частицеподобными решениями; модели с V(Ф) естественно
возникают в альтернативных теориях
гравитации и супергравитации, в теориях
струн и бран; скалярный потенциал управляет
инфляцией и активно
используется в моделях темной
материи и темной энергии (виды применявшихся V(Ф) приведены в
обзорах [14, 15]).
Точные общие решения аналогичной задачи без
учета потенциала скалярного поля для произвольных
значений параметра неминимальной связи ξ были получены в [16]. Было обнаружено, что для ξ > 0 решения
допускают либо сингулярные
модели, в которых расширение достигает
максимума и затем происходит сжатие и
реколлапс, либо несингулярные
осциллирующие модели.
Лагранжиан модели выбираем в виде:
. (1)
Здесь R(Г) – скалярная кривизна
связности ; {} – символы Кристоффеля 2-го рода; – тензор кручения; – гравитационная постоянная Эйнштейна, - лагранжиан
ультрарелятивистского газа.
Отметим, что уравнение скалярного поля, соответствующее лагранжиану (1),
в отсутствие кручения при ξ=1/6 и V(Ф)=0 будет
конформно-инвариантным, а при ξ= –1/6, соответствует
аксионному полю в ОТО [11], которое может быть ответственно за скрытую массу
Вселенной.
Варьируя действие с лагранжианом (1) по получим
, (2)
, (3)
ٱ, (4)
где
,
, . (5)
Здесь ٱ – оператор
Д'Аламбера в римановом пространстве, ; ; , - плотность энергии и
давление ультрарелятивистского газа.
В метрике закрытых однородных изотропных моделей
(6)
для ультрарелятивистского газа
справедливо
, (7)
Потенциал скалярного поля возьмем
в виде
, (8)
Точное частное решение получено в квадратурах:
, , ,
, (9)
где ; ; - постоянная интегрирования;
; ; ; t – космическое синхронное время , ;
> 0;
Для > 3, при условии, что
решение описывает сингулярные
модели с асимптотиками:
, ; , .
(10)
где для , для ; .
Таким образом, учет потенциала
скалярного поля создает эффект типа кривизны [12], так как эволюция моделей
характерна не для закрытых, а для открытых моделей, и приводит к ускоренному экспоненциальному
расширению вселенной.
Литература:
1.
Иванов Г.Г. // Изв. вузов. Физика.
– 1982. - № 9. – С. 42 – 48.
2. Игнатьев Ю.Г., Балакин А.Б. // Изв.
вузов. Физика. –
1981. - № 7.
– С.
20 – 24.
3. Захаров А.В. // Изв. вузов. Физика.
– 1978. - № 3. – С.
30 – 43.
4. Захаров А.В. Макроскопическая
гравитация. – М.: Янус – К, 2000.
5.
Галиахметов А.М. // Изв. вузов. Физика.
– 1988.
- № 10.
– С. 92 – 96.
6. Власов А.А. Статистические
функции распределения. – М.: Наука, 1966.
7. Шикин Г.Н. Сб.: Проблемы теории
гравитации и элементарных частиц. вып. 13. – М.:
Энергоиздат, 1982. – С. 124 – 129.
8. Иванов Г.Г. Сб.: Гравитация и
теория относительности. вып. 19. Изд-во КГУ, Казань, 1983. – С. 73 – 79.
8.
Riess A.G. et al. // Astron J. – 1998. – v. 116. – P. 1009.
8.
Perlmutter S.J. et al. // Astron J. – 1999. – v. 517. – P. 565.
8.
G.Ellis., W. Stoerger., P. McEwan., P. Dunsby // Gen. Rel. Grav. – 2002. – v. 34. – P. 1445.
8.
G. Efstathiou // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 2003. – v.
343. – P. L 95.
8.
S. del Campo., R. Herrera., J.
Saaverdra // Int. J. Mod. Phys. – 2005. – v. D 14.
– P. 1.
8.
Melchiori A., Mercini L., Odman
C.J., Trodden M. // Phys. Rev. D. – 2003. – v. 68, 043509.
8.
Сажин М.В. // УФН. – 2004. – т. 174. - № 2. – С. 197
– 205.
8.
Jha R., Lord E., Sinha K. // Gen.
Relativ. and Gravit. - 1988. - v.20. -№6. – P. 565-571.
8.
De Ritis R., Scudellaro P.,
Stornaiolo C. // Phys. Lett.- 1988. - v. A126.- №7. –P. 389-392.
8.
Galiakhmetov A. M. // "GR
14" Abst., August 6-12 1995, Florense, Italy. - P. B75.
8.
Krechet V.G., Sadovnikov D. V. //
Gravitation and Cosmology. - 1997. – v.3. – № 2 (10).
– P. 133 – 140.
8.
Галиахметов
А.М. // Изв. вузов. Физика. – 2003. – № 7. – С. 23-28.
8.
Galiakhmetov A. M. // Gravitation and Cosmology.
- 2004. – v.10 – № 4 (40). – P. 300 – 304.
8.
Sahni V., Starobinsky A.A. //
IJMP. – 2000. - v. D 9. – P. 373.
8.
Peebles P.J.E., Ratra B. // Rev. Mod.
Phys. – 2003. – v. 75. – P. 599.
8.
Galiakhmetov A.M. // Ukr. J.
Phys. – 2004. – v. 49. - № 2. – P. 105 – 109.
e – mail: ints@adi.gorlovka.net
e – mail: inst@adi.gorlovka.net
Общеизвестно, что проблемы общей теории относительности (ОТО) и
стандартного космологического сценария стимулировали разработку других
общерелятивистских теорий гравитации. В актуальном варианте пуанкаре калибровочной теории гравитации – теории
Эйнштейна-Картана (ТЭК), в которой пространство обладает не только кривизной,
но и кручением, удалось достичь некоторого прогресса в устранении трудностей
ОТО (см., например, [1-4]).
В
работе в рамка двухторсионной ТЭК, построенной в [5, 6], рассматриваються закрытые
однородные изотропные космологические модели с неминимально связанным скалярным
полем с нелинейным потенциалом,
ультрарелятивистским газом и двумя идеальными
жидкостями, одна из которых моделирует материю «жесткого» типа, а вторая
является источником кручения.
Лагранжиан
модели L выбираем в виде суммы лагранжианов:
гравитационного – , скалярного поля – , идеальных жидкостей –и , ультрарелятивистского газа - Lp
(1)
(2)
(3)
Здесь R(Г)
– скалярная кривизна связности
- символы Кристоффеля 2-го рода; - тензор
кручения; – гравитационная постоянная Эйнштейна ξ –
постоянная неминимальной связи; V(Ф) – потенциал скалярного поля; ρ –
плотность массы жидкости; П(ρ,е) – её внутренняя энергия; k, k1, k2, k3– лагранжевы множители; Х – лагранжевы координаты
частиц материи, e – удельная энтропия
[7]; – 4-скорость; – ковариантный оператор в пространстве-времени
Римана-Картана. Лагранжианы Lfl(2)
для
жидкости с предельно жестким уравнением состояния и Lp для
ультрарелятивистского газа не выписаны, так как для них в производной члена, регулирующего сохранение
числа частиц, нет вектора кручения.
Метрический тензор gik имеет сигнатуру (– , – , – ,
+ ), а тензоры Римана и Риччи определяются как. Из (3) следует, что кручение может взаимодействовать с
идеальной жидкостью только через свой след (вектор кручения).
Отметим, что лагранжиан (2) в отсутствие
кручения при ξ=1/6 и V(Ф)=0
соответствует конформно инвариантному скалярному полю.
Замкнутая подсистема уравнений, которая
описывает в рамках ОТО гравитационное взаимодействие ультрарелятивистского
газа, двух идеальных жидкостей и неминимально связанного скалярного поля с
потенциалом V(Ф), соотвествующая лагранжиану L=Lg+Ls+Lfl(1)+Lfl(2)+LP имеет вид:
(5)
где
. (6)
Здесь – плотность энергии и
давление жидкости; и – оператор Д`Аламбера и ковариантная
производная в римановом пространстве, соответственно; .
Сворачивая уравнение (к) системы (5) с и учитывая соотношения
(d), (f), (g) и (h), получим:
(7)
Из
уравнения (d) и (e) системы (5) следует:
(8)
2.Точные
космологические решения
Для
пространственно – однородных изотропных моделей с
метрикой
(9)
уравнения (а) и (с) системы (5) приводятся к виду
(10)
(11)
(12)
где
штрих обозначает дифференцирование по η.
В
дальнейшем для жидкости, которая является источником кручения, ограничимся
рассмотрением вакуумного уравнения состояния: Тогда
из (5) и (8) получим
(13)
где С1, СΘ – постоянные интегрирование (С1>0).
Для
жидкости с предельно жестким уравнением состояния
(14)
Потенциал скалярного поля V(Ф)
возьмём в виде:
(15)
где μ, λ – постоянные; β=
+1 соответствует массовому скалярному полю, β= –1 отвечает нелинейности
типа Хиггса.
Точные решения получены для
положительных значений эффективной постоянной Эйнштейна
(16)
при условии,
что
(17)
2.1. Решения для материального скалярного поля
Точные частные решения получены в квадратурах:
(
18)
где
Для ξ>0, β= –1 функции Wi имеют
вид: а анализ решения (18)
показывает, что оно описывает несингулярные вселенные двух типов:
(20) (19)
где
Для ξ<0, β= +1 функции есть В этом случае решение
(18) допускает существование несингулярных моделей следующих типов: один из
которых подобен (19), а второй имеет следующие асимптотики:
(21)
2.2. Решения для
«гравитационного» (αs= – 1) скалярного поля
Точное частное решения для ξ>0,
β= +1 получено в квадратурах:
(22)
где D1 – постоянная интегрирования.
Решение
(22) получено в двух картах и описывает сингулярные модели с асимптотиками:
(23)
Точные
частные решения для ξ<0, β= –1 запишем в виде:
(24)
где
Анализ
(24) показывает, что в этом случае все модели не имеют начальной сингулярности,
а характер их эволюции определяется значением параметра :
а) <1/3. Возможны
два сценария эволюции:
при t→ – ∞ масштабный
фактор a и скалярное поле Ф
ведут себя как где а при изменяются по закону (19), и зеркальное поведение – при
t→−∞ а и Ф измеряются
по закону (19), а при как
в)
=1/3. Решение выражается в элементарных функциях:
(25)
где
Масштабный фактор а достигает
минимального значения припричём [R9C1]Для
при t→ – ∞ a и Ф изменяются по закону а при как Для n= +1 имеем
космологическую модель с зеркальным по отношению к n= –1 поведением.
с)
1/3< <1. Решение получено в двух картах: . Для модель сжимается по
закону а затем период сжатия
сменяется расширением, причем а и Ф ведут себя типу (19). Для имеет место зеркальное поведение модели.
Для =2/3 решение можно представить в элементарных функциях:
(26)
Минимум
масштабного фактора достигается при причем . Заметим, что для скалярного поля Ф получено решение
солитонного типа.
c)=1. Решение выражается в элементарных функциях:
(27)
Решение (27) справедливо для и получено в двух
картах: n= +1 для , n= –1 для . Отметим, что всюду масштабный фактор либо убывает (n= +1),
либо возрастает (n= –1), причем при t→ модели ведут себя по
закону (19).
е)
>1. Физически разумных решений нет.
2.3. Решения без скалярного поля
Для выяснения возможных эффектов двух
источников кручения приведем точное общее решение для случая отсутствия
скалярного поля:
(28)
где D2 – постоянная интегрирования;
Из (28)видно, что сингулярное решение
получено в двух картах, причем на ранних этапах эволюции масштабный фактор
ведет себя как а при – по закону .
3. Выводы
Сформулируем основные результаты,
полученные в данной работе:
0.В
одноторсионном случае, когда источником кручения является идеальная жидкость с
вакуумным уравнением состояния, получено точное общее сингулярное решение, которое
имеет деситтеровскую асимптотику при t→∞.
0.В
двухторсионном случае с массовым самодействующим скалярным полем (αs=
– 1, β= +1, ξ>0) найдено точное частное сингулярное решение, для
которого начальный темп расширения модели меньше, чем в одноторсионном случае.
Таким образом, учет второго источника кручения в виде неминимально связанного
скалярного поля может приводить к замедлению начальной космологической
эволюции.
0.В
моделях с двумя источниками кручения возрастает число различных космологических
сценариев, возможны несингулярные решения как с деситтеровской асимптотикой,
так и отличной от неё. В отличие от одноторсионного случая получены модели,
которые могут иметь либо больший, либо меньший темп расширения при больших значениях
космологического времени.
1.Все
точные решения в двухторсионном случае получены лишь при учете жидкости с
предельно жестким уравнением состояния.
СПИСОК
литературЫ
1.Иваненко
Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. – М.:
Изд-во МГУ, 1985.
1.Пономарев
В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинамические методы и калибровочный
подход к теории гравитации. – М.: Энергоатомиздат, 1985.
1.Кречет
В.Г. Проблемы гравитационного взаимодействия физических полей в пространствах
аффинной связности: Автореф. дис., … д-ра физ. - мат. наук – Ярославль, 1984.
1.Галиахметов
А.М. // Укр. физ. журн. – 1993. – 38,№6.
– С. 807 – 814; 1994. – 39, №11-12.
– С. 1029 – 1032.
1.Krechet V.G., Sadovnikov Д.V. // Gravitation & Cosmology.– 1997. – V.З. – №2(10). – P. 133 – 140.
1.Мельников
В.Н., Радынов А.Г. // В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных
частиц. Вып. 15. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – С. 65 – 72.
Кречет В.Г., Мельников В.Н. // Изв. вузов. Физика – 1991. – 34, №2
Донецкий государственный
технический университет
Сведения
об авторах
1. Галиахметов
Алмаз Мансурович
Проспект Победы, 90, кв.
20 г.Горловка, Донецкая обл., Украина, 84646
Домашний телефон:
8-06242-2-14-92
Рабочий телефон: 8-06242-55-34-92
Автомобильно-дорожный институт Донецкого
национального
технического университета.
завкафедрой
"Общенаучные дисциплины"
к.ф. – м.н., доцент
2. Шилкин Владимир АнатольевичПасько Александр Александрович
ул. ГагаринаБессонова, 6917, кв.
2237, г.
Горловка, Донецкая обл., Украина, 846274
Тел. 8-06242-553-4150-5642
Автомобильно-дорожный институт Донецкого
национального
технического университета.
Студент IV
курса, специальность "Автомобили и
автомобильное хозяйство"