Карачун В.В., Мельник В.Н., Кладун Е.А.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ

ВОЛН НА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ

Прохождение звуковых волн через плоскую преграду, как правило, изучается на механических моделях в виде бесконечных по протяженности пластин [1,2]. Вместе с тем, целый ряд вопросов динамики плоских элементов подвеса гироскопических приборов в натурных условиях, в частности, возникновение особенностей резонансного типа, остаются вне поля зрения. К ним можно отнести пространнственно-частотный резонанс, неполный пространнственно-частотный резонанс и др. Таким образом, представляется целесообразным усложнить расчетную модель переходом к пластинам конечных размеров.

Анализ изгибных колебаний удобно проводить с помощью метода, изложенного в работе [3]. Суть его состоит в представлении акустической волны и прогиба пластины двойными рядами по нормальным функциям в прямоугольной области. Этот метод имеет наиболее простую математическую интерпретацию, но позволяет, вместе с тем, достаточно глубоко изучить динамику пластины.

Примем длину пластины равной «а», ширину «b», а толщину постоянной по всей площади и значительно меньшей других геометрических размеров, т.е. будем считать:

; .

Предполагаем также материал пластины абсолютно упругим, однородным и изотропным. Длину генерируемой изгибной волны считаем превышающей ее шестикратную толщину, что позволит использовать уравнения движения тонких пластин.

Акустическое поле считаем диффузным, т.е. таким, когда наблюдаются равновероятными распространение звуковых волн по углу .

С учетом малости величин прогибов пластины по сравнению с ее толщиной , боковые грани элемента площади, выделенного на расстоянии от срединной плоскости , можно считать параллельными плоскостям , и перпендикулярными срединной плоскости пластины во все время движения (рис.1).

Какой бы функцией координат х и у ни был бы прогиб пластины, его всегда можно представить в прямоугольной области двойным рядом по нормальным функциям:

(1)

где - числа полуволн изгиба соответственно вдоль осей х и у; - упругое перемещение точки пластины с координатами в направлении оси ; (рис.2).

Легко видеть, что каждый член ряда (1) удовлетворяет граничным условием вида –

(2)

Принимая во внимание соотношения (1), можно вычислить максимальную потенциальную энергию , накопленную при изгибной деформации пластины:

(3)

где - цилиндрическая жесткость пластины; - модуль упругости; - коэффициент Пуассона.

Максимальную кинетическую энергию поперечных колебаний можно вычислить по формуле:

, (4)

где - удельная масса площади пластины; - круговая частота.

Применив принцип Даламбера на виртуальном перемещении

(5)

получаем дифференциальное уравнение движения пластины в главных координатах при свободных

(6)

и вынужденных колебаниях [4]

. (7)

Величина имеет тот физический смысл, чтобы произведение представляло собой виртуальную работу падающей звуковой волны

(8)

где - числа полуволн давления, приходящиеся на длину и ширину пластины соответственно; - амплитуда давления соответствующей формы.

Таким образом, если на пластину падает звуковая волна , то виртуальная работа определится выражением:

(9)

Положим для конкретности

(10)

где - амплитуда давления; - волновое число;- угол падения волны.

Тогда

(11)

а величина будет вычисляться по формуле:

(12)

где ; .

Вычислив теперь максимальную работу , выполняемую падающей плоской звуковой волной

(13)

можно установить закон изгибных колебаний пластины исходя из условия экстремальных свойств ее при прогибе:

(14)

Здесь не учтены возможные потери энергии за счет внутреннего трения в материале.

Чтобы учесть диссипацию энергии, достаточно в формулу (14) внести величину работы этих сил:

(15)

где - коэффициент внутреннего трения; - коэффициент потерь;

.

Окончательно, из уравнения (7) устанавливаем закономерность изгибного движения пластины под действием проникающего акустического излучения:

(16)

где ;

Полученное аналитическое описание возмущенного движения прямоугольной пластины дает возможность для проведения количественного и качественного анализа - форм колебаний, а также условия возникновения пространственно-частотного , частотного и неполного пространственно-частотного резонансов. Расчетная модель в виде бесконечной по протяженности пластины такой возможности не предоставляет.

Литература:

1. Заборов В.И. Теория звукоизоляции ограждающих конструкций. –М.: Стройиздат, 1962. – 165 с.

2. Cremer L. Theorie der Schalldammung Dunner Wande bei schragem Finfall. Akustische Zeitschrift, 1942, 81.

3. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. под ред. Э.И. Григолюка. – М.: Машиностроение, 1985. – 472 с.

4. Дидковский В.С., Карачун В.В.. Заборов В.И. Проектирование ограждающих конструкций с оптимальными звуко- и виброизоляционными свойствами. – К.: «Будивэльнык», 1991. – 120с.