Математика /4. Прикладная математика/

Рябоштан А. Ф., к.т.н. Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства

имени П. Василенко

О поверхностях газовых турбин и соответственных им дифференциальным уравнениям с частными производными

Как известно, конструирование поверхности с использованием дифференциальных уравнений с частными производными основано на тесной взаимосвязи самого уравнения, характеристических его линий и интегральной поверхности. Данному уравнению соответствует единственное множество характеристических линий, из которых конструируется поверхность. Но ведь одна и та же поверхность может быть образована другим множеством линий, а этому множеству соответствует другое дифференциальное уравнение с частными производными.

Конечно задача определения всего множества дифференциальных уравнений, соответственно данной поверхности, непроста.

Рассмотрим некоторые вопросы взаимоопределения дифференциальных уравнений, характеристик, поверхностей и их свойств.

Известно, что одна и та же поверхность может иметь множество дифференциальных уравнений, каждое из которых отражает один какой-то закон его образования.

Для поверхности

(1)

регулярной в области задания независимых переменных, соответствует бесконечное множество дифференциальных уравнений I порядка, зависящих от вида функции F:

(2)

Дифференциальному уравнению соответствует бесконечное множество интегральных поверхностей, зависящих от вида начальной кривой и образованных из комплекса характеристических линий.

Фиксирование уровня из множества (2) выделяет на данной поверхности однопараметрическое множество характеристических линий. С другой стороны, выделения на поверхности однопараметрического множества характеристик еще не определяет однозначно соответствующее множеству дифференциальное уравнение.

Если множество линий заданно в виде

(3)

то ему соответствует линейное дифференциальное уравнение с частными производными, полученное исключением a и b из (3.) уравнения

(4)

Между поверхностью и соответствующим ей дифференциальным уравнением существуеи определенная взаимосвязь.

Такая взаимосвязь позволяет:

а) находить оснащение линий, принадлежащей данной поверхности по ее проекции на Oxy

(5)

определяющее оснащения кривой нормальными векторами поверхности.

б) находить точку на поверхности с заданными параметрами u и v или, наоборот, значения параметров u и v для заданной точки.

Поверхность индуцирует нормальное отображение плоскости x, y на поверхность u, v.

Аналитическая форма этого соответствия устанавливается при условии:

(6)

Регулярная поверхность допускает в окрестностях точки , где регулярную параметризацию, позволяющую получить ее уравнение в виде

(7)

Откуда уравнение нормального отображения получается дифференцированием (7)

, (8)

Собственно, исключая z, мы проверим те же преобразования в предложении, что требования регулярности, выполняются.

Для дифференциального уравнения первого порядка, полученного исключением любых двух из трех переменных x, y, z, данная поверхность является интегральной.

Возможны три вида уравнений , причем уравнение одного и того же вида может оказаться не единственным.