Технические науки/2. Механика

Кубентаева Г.К., Нурмаханов Б.Н.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет

им. Д. Серикбаева,

построениЕ кривых с помощью биквадратичного преобразования Г₄

В данной статье рассматривается способ формообразования кривых с помощью биквадратичного преобразования Г₄, где прообразом задается окружность. Для получения кривых различной формы соответственно будет изменяться расположение прообраза-окружности на плоскости. Графическая модель и уравнение биквадратичного преобразования Г₄ было определено в работе [5].

Для получения новых кривых окружность-прообраз (р) подвергаем биквадратичному преобразованию Г₄. Каждая точка-прообраз преобразуется в четыре точки-образы. Последовательно соединяя полученные точки-образы, построим кривую и обозначим её символом р'. Прообраз преобразуется в общем случае в кривую 4-го порядка. На рисунке 1 показано преобразование точки-прообраза 1 окружности (р) в четыре точки-образы 1´₁, 1´_2, 1´₃ и 1´₄ с использованием графической модели биквадратичного преобразования Г₄. Где прообраз-окружность задается радиусом r=15 мм., а центр окружности расположим на оси ОХ₁, на расстоянии равное t (t>R) относительно начало координат. Для построения образа-кривой используем графическую модель биквадратичного преобразования Г₄. На графической модели указываем область существования биквадратичного преобразования для более точного построения образа. Обозначим несколько точек на прообразе-окружности цифрами 1, 2, 3 и т.д. Заданную точку-прообраз 1 подвергнем биквадратичному преобразованию Г₄ и построим точки 1₁, 1₂, 1₃, 1₄. Через точки 1_1, 1₂ проводим вертикальные линии параллельные оси ОХ₂, а через точки 1₃ и 1₄- горизонтальные линии параллельные оси ОХ₁. Таким образом, пересечение этих линий определяет образы точек 1´₁, 1´_2, 1´₃ и 1´₄ прообраза точки 1.

Рисунок 1 Определение кривой с использованием бивадратичного преобразования Г₄

Рисунок 2 Определение кривой с использованием бивадратичного преобразования Г₄

Следующие образы заданных точек находим согласно выше изложенному алгоритму. Затем, последовательно соединяя полученные точки-образы, строим кривую (р'). В результате прообраз-окружность (р) преобразуется в кривую 4-го порядка (р¢), которая распадается на две кривые второго порядка (рис.1).

Используя уравнение обратного биквадратичного преобразования Г′₄, определим уравнение для данной кривой:

(1)

где Х₁, Х₂ – координаты точек-образов,

Х′₁, Х′₂ – координаты точек – прообразов,

R –коэффициент преобразования.

Значения Х₁ и Х₂ подставляются в уравнение прообраза-окружности:

(2)

где a, b- координаты центра окружности-прообраза;

r – радиус прообраза-окружности

Определяем уравнение кривой (рис. 1):

(3)

Таким образом, показана возможность использования биквадратичного преобразования Г₄ в моделировании кривых четвертого и восьмого порядка (рис.2), что дает возможность его практического применения в прикладной и начертательной геометрии.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Фролов А.С. Методы преобразования ортогональных проекций. -М.: Изд. Машиностроение, 1970, 160 с.

2. Нурмаханов Б.Н. Разработка алгоритмов моделирования нелинейных точечных соответствий плоскости, порождаемых установлением бинарных моделей поверхностей, и их практическое применение: автореф. ... канд. техн. наук: 05.01.01. -Киев: КИСИ, 1978.

3. Байдабеков А.К. Теория нелинейного преобразования и их применение в науке и технике. -Автореф. дисс. докт. техн. наук. Алматы, 2006 г.

4. Усупов М.М. Разработка и применение (1-4) – значных геометрических преобразований специального вида. - Автореф. дисс. канд. техн. наук. Алматы, 2004 г.

5. Нурмаханов Б.Н., Кубентаева Г.К. Моделирование одного вида биквадратичного преобразования и его применение в науке и технике //Тезисы докл. Международной научной конференции «Состояние и перспективы развития механики и машиностроения в Казахстане», Алматы, 2007 г.//