Математика/ 1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Ахажанов Т.Б., д.ф-м.н. Бокаев Н.А.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ОГРАНИЧЕННОЙ P- ВАРИАЦИЙ ПОЛИНОМАМИ ПО СИСТЕМАМ ХААРА ИЛИ УОЛША

В данной работе доказывается прямая и обратная теоремы приближения функций многих переменных ограниченной p- вариации полиномами Хаара и Уолша.

Определения. Пусть функция определена на множестве и , где , , - произвольное разбиение множества . Вариационной суммой порядка функции по разбиению назовем величину

,

где

,

и ,

, , .

Для функции одной переменной понятие вариационной суммы впервые ввел Винер [1], для функций двух переменных -Л.Кларксон и С.Адамс [2].

Вариационным модулем непрерывности порядка функции называется величина

где . Будем говорить, что , , если , и что , , если . Свойства вариационного модуля непрерывности для функции одной переменной исследованы А.П. Терехиным [3], С.С. Волосивецем [4].

Пространства и являются банаховыми с нормой

.

Пусть теперь равна 1 на и -1 на . Продолжим ее периодически с периодом 1 на всю ось. Тогда функциями Радемахера называются функции ,.

Функции Уолша в нумерации Пэли определяются следующим образом (см. [5]). Положим . При рассмотрим двоичную запись :

; ; или , .

Тогда

n-я функция Уолша.

Функции системы Хаара на задаются так: при ; если же , , и ,

то

.

Пусть , -параметр суммирования, , ,

тогда кратную систему Хаара и Уолша определим следующим образом:

, .

Через , соответственно будем обозначать наилучшее приближение функции полиномами по системе Хаара (Уолша) порядка не выше () в метрике , где , или ,

.

Через , обозначим частичную сумму ряда Фурье по системе Хаара (Уолша) функции . Через - обозначим положительные постоянные, зависящие от параметров , вообще говоря, различные в разных формулах.

Основной целью данной работы является доказательство следующей теоремы, являющейся аналогом прямой теоремы теории приближения функций полиномами по системе Уолша или Хаара.

Теорема 1. Пусть ,.Тогда верны неравенства

Теорема 2. Пусть , .Тогда верны неравенства

.

Для случай функций одной переменной подобные теоремы были доказаны в работе [4].

Литература:

1. Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients / Massachusetts J.Math., 3(1924), p. 72-94 .

2. Clarkson J.A. and Adams C.R. On definitions of bounded variation for functions of two variables / Trans. Amer. Math. Soc., 35(1933),p. 824-854 .

3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной p- вариации / Изв. Вузов. Математика. 1965. №2. c.171-187 .

4. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p- вариации полиномами по системам Хаара и Уолша / Мат. Заметки. 1993. Т 53. №6. c.11-21.

5. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А.. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. / Москва «Наука», 1987 г. 345 c.