Математика/ 1. Дифференциальные и интегральные уравнения
Ахажанов Т.Б., д.ф-м.н. Бокаев Н.А.
Евразийский национальный университет им.
Л.Н. Гумилева, Казахстан
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОГРАНИЧЕННОЙ P- ВАРИАЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
ПО СИСТЕМАМ ХААРА ИЛИ УОЛША
В данной работе доказывается прямая и обратная теоремы приближения функций многих переменных
ограниченной p- вариации полиномами Хаара и
Уолша.
Определения. Пусть
функция определена на
множестве
и
, где
,
,
- произвольное разбиение множества
. Вариационной суммой порядка
функции
по разбиению
назовем величину
,
где
,
и
,
,
,
.
Для функции одной переменной понятие вариационной
суммы впервые ввел Винер [1], для функций двух переменных
-Л.Кларксон и С.Адамс [2].
Вариационным модулем непрерывности порядка
функции
называется величина
где . Будем говорить, что
,
, если
, и что
,
, если
. Свойства
вариационного модуля непрерывности для функции одной переменной исследованы
А.П. Терехиным [3], С.С. Волосивецем [4].
Пространства и
являются банаховыми с
нормой
.
Пусть теперь равна 1 на
и -1 на
. Продолжим ее периодически с периодом 1 на всю ось. Тогда
функциями Радемахера
называются функции
,
.
Функции Уолша в нумерации Пэли
определяются следующим образом (см. [5]). Положим . При
рассмотрим двоичную
запись
:
;
;
или
,
.
Тогда
n-я функция Уолша.
Функции системы Хаара на задаются так:
при
; если же
,
,
и
,
то
.
Пусть ,
-параметр суммирования,
,
,
тогда кратную систему Хаара и Уолша определим
следующим образом:
,
.
Через ,
соответственно будем
обозначать
наилучшее приближение функции
полиномами по системе Хаара (Уолша)
порядка не выше
(
) в метрике
, где
,
или
,
.
Через ,
обозначим частичную
сумму ряда Фурье по системе Хаара (Уолша) функции
. Через
- обозначим положительные постоянные, зависящие от
параметров
, вообще говоря, различные в разных формулах.
Основной
целью данной работы является доказательство следующей теоремы, являющейся
аналогом прямой теоремы теории приближения функций полиномами по системе Уолша
или Хаара.
Теорема 1. Пусть ,
.Тогда верны неравенства
Теорема 2. Пусть ,
.Тогда верны неравенства
.
Для случай функций одной переменной подобные теоремы
были доказаны в работе [4].
Литература:
1. Wiener N. The quadratic
variation of a function and its Fourier coefficients / Massachusetts J.Math.,
3(1924), p. 72-94 .
2.
Clarkson J.A. and Adams C.R. On definitions of bounded variation for functions
of two variables / Trans. Amer. Math. Soc., 35(1933),p. 824-854 .
3.
Терехин А.П. Приближение
функций ограниченной p- вариации /
Изв. Вузов. Математика. 1965. №2. c.171-187 .
4.
Волосивец С.С. Приближение
функций ограниченной p- вариации
полиномами по системам Хаара и Уолша / Мат. Заметки. 1993. Т 53. №6. c.11-21.
5.
Голубов Б.И., Ефимов А.В.,
Скворцов В.А.. Ряды и преобразования Уолша: теория
и применения. /
Москва «Наука», 1987 г. 345 c.