Исследование напряженного состояния пластинчатого конвейера

Теоретически решается задача по определению напряженного состояния пластины в функциях напряжений и прогибов при определенных граничных условиях. На основании этого, для определения деформированного состояния пластины применяем метод конечных элементов.

Метод конечных элементов (МКЭ) - это математический метод решения дифференциальных уравнений, позволяющий с высокой точностью моделировать реальность, в том числе, в таких задачах как прочность и деформация конструкций и их элементов.

Если к некоторому узлу (или узлам) сетки конечных элементов (конечно-элементному аналогу) приложить внешние силы или, что одно и то же, задать им некоторые перемещения, известные, например, из измерений деформации нашей конструкции, то истинные перемещения остальных узлов будут такими, которые обеспечивают минимум полной энергии деформации.

Сущность этого метода состоит в том, что реальная (проектируемая) конструкция моделируется набором связанных друг с другом в узлах простейших элементов в виде стержней и пластин, имитирующих работу под нагрузкой конструктивных элементов реальной конструкции.

Последовательность процедур алгоритма МКЭ может быть представлена в следующем виде:

1. Дискретизация рассматриваемой области, т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.

Этот этап, несмотря на видимую простоту, имеет важное значение, хотя он и не обусловлен строгими теоретическими рекомендациями и во многом определяется интуитивно. Обычно при построении конечно-элементной модели руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата, и в местах высоких градиентов искомых величин сетку конечных элементов сгущают.

Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные. В задачах механики деформируемого твердого тела используется принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения.

При кусочно-непрерывной аппроксимации предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять следующим критериям:

- критерию полноты: при стремлении размеров элемента к нулю выбранные функции формы должны обеспечить любые простые значения.

- критерию совместимости: функции формы должны обеспечивать непрерывность перемещений и ее производных до (n-1)-го порядка на границе между элементами (где n-порядок старшей производной в функционале энергии).

При выполнении этих критериев с увеличением числа конечных элементов, моделирующих конструкцию, результаты расчета монотонно сходятся к точному решению. Нарушение критерия совместимости в ряде случаев приводит к достоверному результату, но сходимость в этих случаях не будет монотонной.

На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил. Глобальная матрица жесткости может быть получена несколькими методами:

- методом непосредственного сложения жесткостей;

Полученная на основе указанных методов матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем – шесть, а для плоских - три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений.

6. Решение системы алгебраических уравнений.

После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

На рисунке 1 приведен алгоритм проведения прочностных расчетов элементов пластины полотна конвейера с использованием широко известного пакета моделирования и конечно-элементного анализа MSC.visualNastran.

Для данного программного продукта характерен широкий спектр возможностей, ориентированных на создание полноценной конечно-элементной модели и выполнения самых разнообразных видов расчетов - линейного и нелинейного прочностного анализа, исследования на устойчивость, расчета собственных форм и частот колебаний, осуществления динамического, частотного и теплового анализа конструкции, оптимизации ее параметров.

Основу MSC.visualNastran составляет отработанная технология элементов и надежные численные методы.

Рисунок 1 - Алгоритм проведения прочностных расчетов элементов

На рисунке 2 представлена рабочая среда моделирования MSC.visualNastran 4D.

Рисунок 2 - Рабочая среда моделирования MSC.visualNastran 4D

Результаты расчетов представляются в виде цветовых полей распределения напряжений, деформаций и перемещений с близкими значениями, из которых делается вывод о достаточности (недостаточности) запасов прочности.

На рисунках 3 – 7 представлено распределение напряжений, деформаций и перемещений пластины при падении груза массой 160кг.

Рисунок 4 - Распределение напряжений с сеткой

Рисунок 5 - Распределение деформаций с деформированной формой

Рисунок 6 - Распределение перемещений с деформированной формой

Рисунок 7 - Распределение запаса прочности 160кг