А.П.Мустафаев

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Некоторые частные решения уравнения Лапласа

При исследования стационарных процессов различной физической природы, например, описание стационарных или квазистационарных электромагнитных полей, стационарных процессов теплопроводности и диффузии, течения несжимаемой, невязкой жидкости и т.д. обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнения Лапласа

. (1)

Решение уравнения Лапласа обладающее цилиндрической или круговой симметрией (в случае двух независимых переменных) имеет вид

(2)

где и - произвольные постоянные.

Весьма общим методом решения двухмерных задач для уравнения Лапласа является метод использующей функции комплексного переменного. Но мы не будем излагать общего метода решения уравнения Лапласа а ограничимся рассмотрением простого правила позволяющее получить решение через вполне определенные функции, а неизвестными является только параметры и (в некоторых приложениях их оказывается достаточным).

Выводя вместо х, у новую переменную зависящая от характеристик

т.е.

(3)

уравнения Лапласа

(*)

приводится к дифференциальному уравнению вида

. (4)

Решая полученные уравнения и перехода к старым переменным получим общее решения уравнения (*) зависящие от произвольных постоянных и т.е.

. (5)

Если положим

(6)

то уравнения (*) приводится к дифференциальному уравнению вида

. (7)

интегрируя уравнения (7) получим

.

В старых переменных х, у общее решение уравнения принимает вид

. (8)

С помощью замены

или (9)

уравнение (*) приводится к дифференциальному уравнению вида

. (10)

Решая полученные уравнения и перехода к старым переменным получим, соответственно

или

. (11)

Аналогично с помощью замены

.

Если положим

то уравнение (*) приводится к дифференциальному уравнению вида

,

а при замене

уравнение (*) приводится к дифференциальному уравнению вида

,

которые легко можно найти общие решения в явном виде.

Следует, однако, заметить что теория уравнении эллиптического типа первоначально ограничивалась изучением уравнения Лапласа т.е. по существу гармонических функций, а рассматриваемые нами преобразований расширяет класс функции являющихся решением уравнения Лапласа.

Литература:

1. Ф.Трикоми. Лекции по уравнениям в частных производных. М.,-1957;

2. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнение математической физики. «Наука» М., 1977, 736 с.