Ленюк М. П.

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЕЙЛЕРА ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ З ОДНІЄЮ ТОЧКОЮ СПРЯЖЕННЯ

Побудуємо обмежений на множині

розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Ейлера другого порядку

(1)

за крайовими мовами

, (2)

та умовами спряження

(3)

У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Ейлера [1] , .

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , ;

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі методом функцій Коші [1,2]:

(4)

У формулах (4)функція Коші [1,2]:

(5)

(6)

У рівностях (5), (6) беруть участь функції:

Всі інші функції загальноприйняті [3,4].

Крайова умова в точці та умови спряження в точці для визначення трьох величин дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

,

,

(7)

У системі (7) бере участь функція

.

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3): для будь-якого вектора визначник алгебраїчної системи (7) [5]

(8)

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

, (9)

2) породжені умовами спряження функції Гріна

, ;

, (10)

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

(11)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (7) та підстановки одержаних значень величин у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

. (19)

З другого боку, побудуємо розв’язок крайової задачі (1) - (3) методом інтегрального перетворення, породженого на піввісі диференціальним оператором

, , (13)

- одинична функція Гевісайда [2].

Диференціальний оператор самоспряжений та має одну особливу точку . Тому його спектр неперервний і спектральна вектор-функція дійсна [3]. Якщо спектральний параметр, то йому відповідає спектральна вектор-функція

.

При цьому функція повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

(14)

за однорідними крайовими умовами (2) та однорідними умовами спряження (3): , ,

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1].

Якщо покласти

,

, (15)

то крайова умова в точці й умови спряження в точці для визначення дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

(16)

Припустимо, що де підлягає визначенню. Перше рівняння в системі (16) стає тотожністю. Інші рівняння дають для визначення алгебраїчну систему з двох рівнянь:

. (17)

Визначник алгебраїчної системи (17)

;

Алгебраїчна система (17) має єдиний розв’язок [5]:

Цим функції визначені

,

. (18)

Введемо до розгляду числа

, ,

вагову функцію

(19)

і спектральну щільність

. (20)

Наявність вагової функції , спектральної функції та спектральної цілісності дозволяє визначити пряме та обернене інтегральне перетворення, породжене на множині диференціальним оператором [3]:

, (21)

. (22)

Тут вектор-функція - будь-який елемент з області визначення оператора .

Сформулюємо необхідне для інтегрування системи (1) твердження про основну тотожність.

Теорема 1. Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

та умови спряження (3), то має місце основна тотожність інтегрального перетворення диференціального оператора :

(23)

У рівності (23) прийняті позначення:

Запишемо систему (1) в матричній формі: