Ленюк М. П.

 

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

 

ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ЕЙЛЕРА ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ  ОСІ З ОДНІЄЮ ТОЧКОЮ СПРЯЖЕННЯ 

 

Побудуємо обмежений на множині

розв’язок  сепаратної системи диференціальних рівнянь Ейлера 2-го порядку

                                                                            (1)

за крайовими мовами

        

                ,                                    (2)

та умовами спряження

                                    (3)

У системі (1) бере участь диференціальний оператор Ейлера  , , .

Припускаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , ;

      

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють  функції  та   [1]. Це дозволяє розв’язок крайової задачі (1) - (3) будувати методом функцій Коші [1]:

                                                      (4)

У рівностях (4) ,функція Коші [1]:

                                                 (5) Припустимо, що функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси знаходимо співвідношення:

                                                              (6)

Доповнимо рівності (6) алгебраїчними рівнянням:

            (7)

Алгебраїчна система (7) внаслідок співвідношень (6) набуває вигляду:

                                                     (8)

Із алгебраїчної системи (8)знаходимо, що

 

Цим функція Коші  визначена й в силу симетрії відносно діагоналі  має структуру:

                          (9)

В рівностях (7) - (9) прийняті позначення:

,

,

      Припустимо, що функція Коші

      Властивості (5) функції Коші дають співвідношення:

,                                               (10)

Доповнимо  алгебраїчними рівняннями:

                                   (11)

Система (11) внаслідок рівностей (10) набуває вигляду:

Звідси знаходимо, що

 

    Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

                        (12)

      Тут беруть участь функції:

.

      Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення чотирьох величин  дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

 

,

, 

                                                                   (13)

                                                                         .

У системі (13) бере участь функція

.

та символ Кронекера  [2].

      Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3): для будь-якого ненульового вектора ={q1; } визначник алгебраїчної системи (13) відмінний від нуля [2]:

                                                       (14)

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

,                         ;                        (15)

2) породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                              (16)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

,                      (17)

4) породжені неоднорідністю системи функції впливу

                                            (18)

,

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (13) та підстановки обчислених значень величин у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

.             (19)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі методом інтегрального перетворення, породженого на множині диференціальним оператором

,  .                      (20)

Диференціальний оператор  самоспряжений і на множині  не має особливих точок. Отже, його спектр дійсний та дискретний [3]. Йому відповідає дійсна спектральна функція

 ,                  (21)

де  –спектральний параметр.

Для знаходження власних елементів (спектра й спектральної функції) оператора  розглянемо спектральну задачу Штурма - Ліувілля: знайти ненульовий розв’язок однорідної системи

                                                                    (21)

за однорідними крайовими умовами (2) та однорідними умовами спряження (3): (); , ,

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера   утворюють функції  та  [1].

Якщо покласти

            ,

,                                       (22)

то однорідні крайові умови та однорідні умови спряження для визначення величин дають однорідну алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

             (23)

    У системі (23) прийняті позначення:

,

.

Введемо до розгляду функції:

   ;

  .

     Алгебраїчна система має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді, коли її визначник рівний нулю [2]:

                                                       (24)

    Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел диференціального оператора .

    Підставимо корінь  рівняння (24) в систему (23) й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Покладемо      ,

  Відносно  отримуємо алгебраїчну систему

 .                                             (25)

  Визначник алгебраїчної системи (25)

Алгебраїчна система (25) має єдиний розв’язок [2]:

, , ;

,

      Підставивши визначені величини  у рівності (22), маємо функції:

,

.                          (26)

      Спектральна вектор-функція  визначена.

      Визначимо числа  

,  ,

вагову функцію

, та квадрат норми власної (спектральної) функції      

                   .

      Наявність спектральної функції з її квадратом норми та вагової функції дозволяє визначити скінченне інтегральне перетворення, породжене на множині  оператором [3]:

     ,                                               (27)

                                                                (28)

         Введемо до розгляду величини та функції:

, , ;

                                                          

Має місце основна тотожність [3]:

                       (29)

          Єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3) одержаний за відомою логічною схемою методом запровадженого формулами (27)-(29) скінченного інтегрального перетворення [3], має структуру:

   +

+  +                                                      

 j=1,2           (30)

                                       

     Порівнюючи розв‘язки (19) та (30) в силу єдиності, приходимо до таких формул підсумовування функціональних рядів:

          , j = 1, 2                             (31)

          , j = 1, 2                            (32)

          , j = 1, 2                                             (33)

          , j = 1, 2                                          (34)

          , j,к = 1, 2                                    (35)

          Тут .

          Підсумком наведеного в даній роботі дослідження є твердження.

Основна теорема: Якщо вектор-функція  неперервна на множині , функції  задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (14) однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3), то справджуються формули (31) - (35) підсумовування функціональних рядів за власними елементами диференціального оператора Ейлера , визначеного рівністю (20).

      Література:

      1.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959.-468с.

      2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.-432с.

      3. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені     диференціальними рівняннями друго порядку. – Чернівці: Прут, 2001.- 228с.