УДК 517.9

Линизированная система уравнении Навье - Стокса.

 

А.П. Мустафаев

 

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима.

 

Навье – Стокс уравнение – дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (газа) названы по имени Л.Навье и Дж. Стокса. Для несжимаемой (плотность ) и ненагреваемой (температура t- const)  уравнения Навье – Стокса в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат (система трех уравнений) имеет вид

                                                 (1)

         Здесь t- время, x, y, z – координаты жидкой частицы, - проекции ее скорости,  - проекции объемной силы,  - кинематический коэффициент вязкости, m- динамический  коэффициент вязкости, p- давление.

         Чтобы замкнуть систему, к уравнениям (1) присоединяют уравнения неразрывности имеющий для несжимаемой жидкости вид

                                                                                                (2)

            До сих пор решение этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько ситуации (обусловленных простой геометрий) которые решены аналитическом виде. В остальных случаях используется численные моделирования, поэтому нет полного понимания свойств уравнения Навье – Стокса.

         Здесь неизвестными величинами является скорости , ,  и давление .

         В частности эти функции удовлетворяют линейной системе уравнении с частными производными Навье – Стокса.

                                                           (3)

          В настоящей работе мы покажем, что частный вид общего решения этой системы можно получить через вполне определенные функции.

Пусть  , тогда имеем систему вида

                                                             (4)

При предложении непрерывной дифференцируемости  до третьего порядка система (4) равносильна системе

                                                            (5)

где -  оператор Лапласа.

         Далее с помощью замены

                                                                       (6)

уравнения Лапласа приводится к дифференциальному уравнению вида

                                                                        (7)

где .

Решая это уравнение и переходя к старым переменным x,y,z  имеем

                                                          (8)

Аналогично, решая остальные уравнения системы (5) учитывая  (2), (8) имеем

 

                                                          (9)

Тогда решение системы (3)  при p=const имеет вид

                             (10)

где  - произвольные постоянные,  - произвольные функции.

Правильность полученных решении легко можно проверить, подставляя (10) в (3).

Литература:

1.                            А.В. Бицадзе. Некоторые классы уравнений частных производных. – М.:, Наука, 1981.

2.                            А.П. Мустафаев. Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Материал ІV международной научной практической конференций. «Научная мысль информационного века.- 2008» Том 13. Publishing House “Education and Science” S.p.o Прага (Чехия).