Технические науки / Механика
Антонов Б. И.
Одесский национальный
морской университет
Удолатий В.Б.
Одесская национальная морская академия
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ
ОСЕВЫХ СИЛ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ПОПЕРЕЧНЫХ
КОЛЕБАНИЙ БРУСА ПЕРЕМЕННОГО
СЕЧЕНИЯ
В инженерных расчетах различных
конструкций широко применяются расчетные схемы в виде изолированных брусьев или
систем взаимодействующих в узловых точках брусьев. В некоторых расчетных схемах
конструктивные элементы имеют переменное по длине сечение и могут быть
нагружены постоянными осевыми силами 
.
Исследование свободных колебаний бруса с
использованием указанной расчетной схемы представляет сложную математическую
проблему, анализ которой в большинстве случаев возможно выполнить только
численными методами.
Целесообразно
для решения указанной задачи применить метод конечных элементов. Для этого необходимо располагать матрицами
жесткости и масс конечного элемента (КЭ) бруса переменного сечения. Процедура получения
элементов указанных матриц жесткости рассмотрена в работе [1].
Рассмотрен КЭ бруса, в каждом естественном
узле которого предусмотрено по три степени свободы: осевое перемещение 
, нормальное перемещение 
и угол поворота поперечного
сечения 
(рис. 1).
В этом случае вектор-столбец узловых
перемещений КЭ имеет структуру
,
(1)
Принятая структура вектора-столбца (1)
позволяет представить функции осевых 
и нормальных
перемещений точек
оси КЭ в виде:
Рис. 1. Конечный элемент бруса переменного сечения,
связанный
с местной 
и общей 
системами координат
.
; (2)
. 
. (3)
Рассматривая кинематические граничные
условия в узлах КЭ, можно исключить из
выражений (2) и (3) множители 
(
=1,2,…,6). Переходя
к матричной формулировке результатов, запишем
. (4)
Нетрудно установить, что матрицы 
и 
имеют структуру:
= 
;
,
где 
- длина КЭ (рис. 1).
Функции для вычисления площади 
и центрального
момента инерции 
поперечного сечения КЭ
представлены в виде:
- клиновидная
форма (рис. 2,а)
, (5)
где - 
; 
.
Здесь - 
- ширина и высота
левого (правого) торцевого сечения КЭ;
- коническая форма (рис. 2,б) 
,
где 
(
) – диаметр левого (правого) торцевого сечения КЭ.
Выражения (5) при этом принимают вид:
, (6)
где - 
.
Рис. 2. Типы КЭ бруса переменного сечения
Выражения (5) и (6) нетрудно представить в виде:
; (7)
, (8)
где
; 
- матрицы-строки координатных функций;
; 
- векторы-столбцы постоянных множителей.
В работе
[1] рассмотрена процедура вывода
уравнения движения упругой системы.
Указанное уравнение для упругой системы без сопротивления имеет
вид
,
(9)
где 
- матрица упругой жесткости, 
- матрица геометрической жесткости (матрица
устойчивости) и 
- матрица масс бруса (ансамбля КЭ) в общей
системе координат; 
- вектор узловых перемещений бруса в общей
системе координат; 
- вектор узловых
ускорений; 
- вектор внешних
узловых сил, действующих на брус.
Из выражения (9) нетрудно получить
следующее матричное уравнение для исследования
влияния осевых сил на частоты свободных колебаний бруса переменного сечения
, (10)
где 
- вектор амплитуд узловых перемещений бруса (ансамбля
конечных элементов); 
- вектор собственных
частот бруса.
Для формирования матриц 
, 
и 
необходимо воспользоваться
матрицами жесткости и масс КЭ с 6-ю степенями свободы бруса переменного
сечения, выражения для вычисления элементов которых приведены в работе [1].
При вычислении элементов матрицы
геометрической жесткости 
осевые силы 
выражались в долях от
критической силы бруса 
, которая была определена в результате решения
соответствующей задачи методом конечных элементов [2].
Для нахождения собственных частот бруса с
помощью уравнения (10) можно воспользоваться алгоритмом, рассмотренным в работе [3].
С
помощью разработанного автором программного комплекса «Квант» определены пять
низших частот свободных колебаний бруса, имеющего форму усеченного конуса. В расчетах использованы следующие
характеристики бруса: длина 
= 2,4 м.; диаметр нижнего
торцевого сечения 
= 0,2 м; диаметр верхнего торцевого сечения 
принимал значения,
обеспечивающие выполнение заданного отношения
= 
. Рассмотрены
следующие значения параметра 
: 0,10; 0,55; 1,00;
модуль продольной упругости материала 
= 210 ГПа.
Брус идеализировался 8-ю КЭ одинаковой
длины. Рассмотрены следующие варианты
закрепления торцевых сечений бруса: оба торцевых сечения свободно оперты на
жесткие опоры (рис. 3); нижнее торцевое
сечение жестко заделано, верхнее – свободно оперто на жесткую опору (рис. 4);
оба торцевых сечения жестко заделаны (рис. 5). Величина осевых сил составляла
определенную долю критических сил 
. Рассмотрены
следующие значения параметра нагружения 
: - 0,95; - 0,90; - 0,80; - 0,60; - 0,40; - 0,20; 0,00; 1,00;
2,00. Критические силы 
бруса были определены
также методом конечных элементов [2].
В таблицах 1-3 приведены значения 5-и
низших частот свободных поперечных колебаний
бруса.
Таблица 1. Собственные частоты поперечных колебаний
свободно опертого по концам бруса
|
|
|
|
Частота колебаний
(сек.-1) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
0,10 |
8941 кН |
-0,95 |
73.19 |
1184. |
2880. |
5263. |
8363. |
|
-0,90 |
104.8 |
1194. |
2890. |
5272. |
8373. |
||
|
-0,80 |
148.9 |
1213. |
2908. |
5288. |
8391. |
||
|
-0,60 |
210.0 |
1251. |
2945. |
5326. |
8427. |
||
|
-0,40 |
256.2 |
1288. |
2981. |
5360. |
8462. |
||
|
-0,20 |
295.1 |
1324. |
3016. |
5395. |
8496. |
||
|
0,00 |
329.3 |
1358. |
3051. |
5432. |
8531. |
||
|
1,00 |
462.1 |
1518. |
3220. |
5603. |
8703. |
||
|
2,00 |
562.7 |
1660. |
3379. |
5768. |
8869. |
||
Продолжение таблицы 1
|
|
|
|
Частота колебаний
(сек.-1) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
0,55 |
20960 кН |
-0,95 |
92.01 |
1439. |
3509. |
6415. |
10190 |
|
-0,90 |
129.7 |
1450. |
3520. |
6425. |
10200. |
||
|
-0,80 |
182.7 |
1474. |
3541. |
6447. |
10220. |
||
|
-0,60 |
259.9 |
1519. |
3584. |
6489. |
10270. |
||
|
-0,40 |
318.5 |
318.5 |
3627. |
6530. |
10310. |
||
|
-0,20 |
367.7 |
1606. |
3669. |
6572. |
10350. |
||
|
0,00 |
411.2 |
1648. |
3710. |
6612. |
10390. |
||
|
1,00 |
580.7 |
1842. |
3911. |
6815. |
10590. |
||
|
2,00 |
711.1 |
2017. |
4102. |
7013. |
10790. |
||
|
1,00 |
28260 кН |
-0,95 |
99.95 |
1548. |
3777. |
6904. |
10970. |
|
-0,90 |
140.1 |
1561. |
3789. |
6915. |
10980. |
||
|
-0,80 |
198.2 |
1586. |
3812. |
6941. |
11000. |
||
|
-0,60 |
279.8 |
1635. |
3859. |
6985. |
11050. |
||
|
-0,40 |
343.4 |
1682. |
3903. |
7028. |
11090. |
||
|
-0,20 |
396.5 |
1728. |
3949. |
7074. |
11140. |
||
|
0,00 |
443.3 |
1773. |
3994. |
7117. |
11180. |
||
|
1,00 |
626.4 |
1982. |
4209. |
7335. |
11400. |
||
|
2,00 |
767.7 |
2171. |
4413. |
7547. |
11610. |
||
Таблица 2. Собственные частоты поперечных колебаний бруса,
один конец которого
свободно оперт, другой – жестко
заделан
|
|
|
|
Частота колебаний
(сек.-1) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
0,10 |
18300
кН |
-0,95 |
138.6 |
1429. |
3295. |
5852. |
9146. |
|
-0,90 |
195.3 |
1449. |
3315. |
5873. |
9164. |
||
|
-0,80 |
275.5 |
1489. |
3352. |
5908. |
9200. |
||
|
-0,60 |
384.3 |
1565. |
3425. |
5980. |
9271. |
||
|
-0,40 |
465.0 |
1638. |
3496. |
6051. |
9341. |
||
|
-0,20 |
530.9 |
1707. |
3566. |
6121. |
9411. |
||
|
0,00 |
588.3 |
1773. |
3635. |
6190. |
9479. |
||
|
1,00 |
802.2 |
2066. |
3956. |
6523. |
9816. |
||
|
2,00 |
958.8 |
2315. |
4249. |
6839. |
10140. |
||
Продолжение таблицы 2
|
|
|
|
Частота колебаний
(сек.-1) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
0,55 |
42870 кН |
-0,95 |
151.3 |
1717. |
3991. |
7107. |
11110. |
|
-0,90 |
214.0 |
1739. |
4011. |
7127. |
11130. |
||
|
-0,80 |
301.3 |
1783. |
4054. |
7168. |
11170. |
||
|
-0,60 |
424.4 |
1869. |
4136. |
7251. |
11250. |
||
|
-0,40 |
517.1 |
1950. |
4217. |
7333. |
11330. |
||
|
-0,20 |
594.8 |
2028. |
4297. |
7413. |
11410. |
||
|
0,00 |
662.7 |
2104. |
4374. |
7492. |
11490. |
||
|
1,00 |
924.0 |
2444. |
4744. |
7876. |
11880 |
||
|
2,00 |
1120. |
2741. |
5087. |
8240. |
12260. |
||
|
1,00 |
57810 кН |
-0,95 |
156.4 |
1838. |
4283. |
7637. |
11940. |
|
-0,90 |
221.8 |
1861. |
4305. |
7659. |
11960. |
||
|
-0,80 |
312.9 |
1907. |
4351. |
7701. |
12010. |
||
|
-0,60 |
441.2 |
1997. |
4437. |
7790. |
12090. |
||
|
-0,40 |
538.9 |
2083. |
4523. |
7875. |
12180. |
||
|
-0,20 |
620.5 |
2165. |
4606. |
7959. |
12270 |
||
|
0,00 |
692.4 |
2244. |
4689. |
8044. |
12350. |
||
|
1,00 |
969.9 |
2604. |
5081. |
8452. |
12760. |
||
|
2,00 |
1180. |
2918. |
5444. |
8839. |
13170. |
||
Таблица 3. Собственные частоты
поперечных колебаний
жестко заделанного по концам бруса
|
|
|
|
Частота колебаний
(сек.-1) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
0,10 |
35790 кН |
-0,95 |
179.0 |
1554. |
3573. |
6292. |
9752. |
|
-0,90 |
252.4 |
1589. |
3606. |
6323. |
9785. |
||
|
-0,80 |
355.3 |
1657. |
3669. |
6388. |
9849. |
||
|
-0,60 |
497.6 |
1784. |
3796. |
6515. |
9977. |
||
|
-0,40 |
604.4 |
1901. |
3916. |
6640. |
10100. |
||
|
-0,20 |
693.0 |
2011. |
4033. |
6760. |
10230. |
||
|
0,00 |
769.4 |
2114. |
4146. |
6879. |
10350. |
||
|
1,00 |
1061. |
2560. |
4666. |
7444. |
10940. |
||
|
2,00 |
1278. |
2928. |
5127. |
7962. |
11500. |
||
Продолжение таблицы 3
|
|
|
|
Частота колебаний
(сек.-1) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
0,55 |
83880 кН |
-0,95 |
213.0 |
1896. |
4368. |
7687. |
11910. |
|
-0,90 |
300.5 |
1937. |
4407. |
7727. |
11950. |
||
|
-0,80 |
423.7 |
2019. |
4483. |
7802. |
12020. |
||
|
-0,60 |
596.9 |
2172. |
4633. |
7953. |
12170. |
||
|
-0,40 |
728.3 |
2314. |
4778. |
8100. |
12320. |
||
|
-0,20 |
837.9 |
2448. |
4917. |
8245. |
12470. |
||
|
0,00 |
933.5 |
2574. |
5055. |
8387. |
12620. |
||
|
1,00 |
1135. |
2863. |
5380. |
8733. |
12970. |
||
|
2,00 |
1303. |
3125. |
5687. |
9065. |
13320. |
||
|
1,00 |
113100 кН |
-0,95 |
228.2 |
2040. |
4703. |
8279. |
12820. |
|
-0,90 |
323.0 |
2086. |
4746. |
8320. |
12860. |
||
|
-0,80 |
455.6 |
2173. |
4827. |
8402. |
12940. |
||
|
-0,60 |
641.7 |
2338. |
4988. |
8563. |
13110. |
||
|
-0,40 |
783.4 |
2491. |
5144. |
8721. |
13270. |
||
|
-0,20 |
901.4 |
2635. |
5295. |
8877. |
13420. |
||
|
0,00 |
1005. |
2771. |
5441. |
9029. |
13580. |
||
|
1,00 |
1403. |
3364. |
6121. |
9759. |
14340. |
||
|
2,00 |
1703. |
3862. |
6733. |
10440. |
15060. |
||
Численные эксперименты показали, что
наиболее существенно зависит от
величины осевой силы первая наименьшая собственная частота поперечных колебаний бруса. В
частности, при приближении величины сжимающей осевой силы к критической силе 
бруса первая
наименьшая собственная частота 
поперечных колебаний
бруса стремится к нулю.
На рис. 3 – 5 приведены графики зависимости 
от величины осевой силы.
График 1 соответствует параметру 
1,00 (брус
постоянного сечения); график 2 –
параметру 
0,55; график 3 – параметру 
0,10. Других пояснений рис. 3-5 не требуют.
В работе [4] приведена формула для
вычисления собственных частот поперечных колебаний бруса постоянного сечения с учетом влияния осевой силы для
свободно опертого по концам бруса (рис. 3).
Расхождение значений собственных
частот 
, определенных методом конечных элементов и по указанной
формуле не превышает 0, 84 %.
Рис. 3.
Зависимость 
от параметра осевого
нагружения бруса 
Рис. 4. Зависимость 
от параметра осевого
нагружения бруса 
Рис. 5. Зависимость 
от параметра осевого
нагружения бруса 
Литература:
1. Антонов
Б. И. Решение статических и динамических задач для бруса переменного сечения методом конечных
элементов // Вісник Одеського національного морського університету. Вип. 17. - Одеса.: Вид-во ОНМУ. - 2005 . - С. 271 - 281.
2. Антонов Б.И. Устойчивость бруса переменного сечения // Materiàly IV mezinàrodni védecko-praktickà konference «Рředni védecké novinky – 2008».
Dil. 5. Technické védy. Praha. Publishing House «Еducation and Science».-2008. – C. 4-11.
3. Антонов Б.И. Об одном алгоритме решения обобщенной проблемы собственных
значений // Современные проблемы судостроения и судоремонта [ОИИМФ].– М.: В / О «Мортехинформреклама», 1991. С. 78 – 81.
4. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном
деле / Пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; Под ред.
Э.И. Григолюка. – М.: Машиностроение, 1985. – 472 с.