Математика/1. Диференціальні та інтегральні рівняння

Городецький В.В., Колісник Р.С.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНІСТЬ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ ПО У ПРОСТОРАХ ТИПУ ТА

При дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними зі сталими (або залежними лише від часу) коефіцієнтами широко використовуються простори типу , введені І.М.Гельфандом та Г.Є.Шиловим [1], та простори типу , введені Б.Л.Гуревичем. Простори типу складаються з нескінченно диференційовних на функцій, поведінка яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами , де подвійна послідовність задовольняє певні умови (особливо повно досліджено випадок ). Простори типу є узагальненнями просторів типу внаслідок заміни степеневих функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості зростання або спадання функцій на нескінченності.

У працях М.Л.Горбачука, П.І.Дудникова, О.І.Кашпіровського, С.Д.Івасишена, В.В.Городецького встановлено, що простори типу - простори, топологічно спряжені до просторів типу , - є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченного порядку, при яких розв’язки є нескінченно диференційовними функціями за просторовими змінними.

В.В.Городецьким, О.В.Мартинюк, О.М.Ленюком аналогічні результати у просторах типу встановлені для певних класів рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку (еволюційні рівняння, що містять оператор диференціювання нескінченного порядку, або оператор Бесселя нескінченного порядку).

У працях [2,3] побудовані класи цілих функцій (простори типу ), які спадають на дійсній вісі при швидше, ніж ; при цьому простори типу , а також простори типу утворюють певні підкласи просторів типу . У цих працях розвивається теорія задачі Коші для одного класу рівнянь з частинними похідними з початковими умовами з просторів типу . Природно виникає питання про одержання аналогічних результатів для еволюційних рівнянь вищого порядку по з оператором диференціювання нескінченного порядку. У роботі дається відповідь на поставлене питання у випадку задачі Коші для вказаних рівнянь у просторах узагальнених функцій типу (аналітичних функціоналів).

Нагадаємо, що символом позначається множина всіх фінітних нескінченно диференційовних на функцій. Сукупність всіх лінійних неперервних функціоналів на зі слабкою збіжністю позначається через . Елементи називаються узагальненими функціями. Сукупність узагальнених функцій з , які обертаються в нуль на півосі , позначається символом . Розглянемо узагальнену функцію , яка залежить від параметра , і визначається формулою

де – найменше серед натуральних чисел таке, що , – функція Хевісайда. За допомогою будуються оператори . Оскільки , то оператор при називають оператором дробового диференціювання.

Розглянемо монотонно зростаючу послідовність додатних чисел таку, що: 1) , ; 2) : ; 3) : i покладемо , ; . Функція – неперервна, парна на , монотонно зростає на і монотонно спадає на крім того, : . За функцією будуємо послідовність Встановлено, що: 1) послідовність є монотонно спадною; 2) ; 3) послідовність – обмежена зверху.

Нехай – зростаюча послiдовнiсть додатних чисел, яка володiє властивостями 1) – 3). Покладемо ; . Функція – невiд’ємна, неперервна, парна на функцiя, яка монотонно спадає на і монотонно зростає на ; при цьому

.

Символом позначимо сукупнiсть усiх цілих функцій , які задовольняють умову

: .

У просторі визначені та є неперервними операції множення на незалежну змінну, диференціювання, зсуву аргументу. Для функції j Î еквівалентними є наступнi твердження [2]:

1) : ;

2) : .

Зазначимо, що якщо покласти , де – розв’язок рівняння – розв’язок рівняння за умови, що – диференційовні, невід’ємні, парні на , зростаючі і опуклі на функції, то простір збігається з простором , який відноситься до просторів типу , введених Б.Л.Гуревичем.

Сукупність функцій з простору , звужених на , позначимо символом .

Нехай – функцiя, двоïста за Юнгом до функцiï , ; – функцiя, двоïста за Юнгом до функцiï , ,

– деяка ціла функція. Говоритимемо, що в просторі задано диференціальний оператор нескінченного порядку , , якщо для довільної основної функції ряд

зображає деяку основну функцію з простору . У [3] доведено, що якщо ціла функція є мультиплікатором у просторі , то у просторі визначений і є неперервним оператор диференціювання нескінченного порядку . Нехай – звуження оператора на . Тоді для довільної функції правильною є рівність ,; тут () – пряме перетворення Фур’є, () – обернене перетворення Фур’є.

Розглянемо рівняння

, (1)

з початковою умовою

. (2)

Тут , – ціла, – дробова частини числа, – оператор дробового диференціювання, який діє по змінній у просторі , – простір топологічно спряжений до ().

Під розв’язком задачі Коші (1), (2) розумітимемо функцію , яка задовольняє умови: 1) при кожному ; 2) задовольняє рівняння (1) та початкову умову (2) у тому сенсі, що при у просторі ; якщо , то припускаємо, що задовольняє також наступну умову: 3) для довільного фіксованого проміжку існує стала така, що .

Правильним є наступне твердження.

Теорема. Задача Коші (1), (2) коректно розв’язна у класі узагальнених функцій . Розв’язок при кожному фіксованому належить до простору () і подається у вигляді , де – фундаментальний розв’язок задачі Коші (1), (2)).

Література:

1. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307с.

2. Городецький В.В., Колісник Р.С. Про одне узагальнення просторів типу // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип.134. Математика. – Чернівці: Рута, 2002. – С. 30-37.

3. Городецький В.В., Колісник Р.С. Оператори диференціювання нескінченного порядку у просторах типу та їх застосування // Доп. НАН України. – 2004. – № 10. – С. 14–19.