К. т. н.
Сметанкин В.А., к. т. н. Сметанкина Н.В.
Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства
имени Петра Василенко, Украина
Моделирование
хрупкого удара по пластине во фрактальной постановке
В работе
рассматривается хрупкий удар шаровым индентором по пластине, при котором
происходит растрескивание либо разрушение материала пластины. Этот случай удара
имеет место, например, при столкновении жёсткого предмета с лобовым стеклом
движущегося транспортного средства. Упругому удару с учетом контактных
деформаций на основе разных гипотез посвящено достаточное число работ [1–6].
Однако, что в случае хрупкого разрушения материала с множественными
неупорядоченными дефектами, к которым относится стекло, необходимо
разрабатывать новые модели разрушения [7]. Целью настоящей работы является
разработка фрактальной модели хрупкого разрушения пластины из стекла при ударе
шаровым индентором.
В
соответствии с работами [1, 8, 9] хрупкое разрушение определяется наличием
микротрещин, которые в процессе деформации формируют магистральную трещину,
приводящую к разрушению тела пластины. Трещины имеют нерегулярную форму
(например, система трещин на лобовом стекле в результате удара летящим камнем)
и по внешнему виду их можно геометрически моделировать формой траектории
броуновской частицы.
Рассмотрим
распространение трещины (её геометрический аналог – «плоское» случайное
блуждание броуновской частицы) из точки находящейся в центре удара. Пусть 
– вероятность того,
что в результате объединения микротрещин длиной 
трещина достигнет
точки 
, тогда на основании [10], имеем:
. (1)
Система координат 
расположена в плоскости пластины, а её начало находится
посередине и совпадает с центром удара. Дальнейший анализ рассматриваемой
модели распространения трещин выполнен путём применения к (1) преобразования
Карсона. На основании теоремы смещения, найдём:
. (2)
Интегрируя
(2), находим :
, (3)
где 
– первая
модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
В связи
с тем, что начальное положение трещины совпадает с началом координат, имеем:
(4)
и
, (5)
где 
– дельта-функция
Дирака.
Таким
образом, с учетом (4), (5) для 
находим представление
. (6)
Используя интеграл обращения и сделав замену
, 
, (7)
получим
, (8)
где 
– функция Бесселя
нулевого порядка.
Выполняя
замену переменных в (8),
, 
, (9)
получим
, (10)
где 
.
Введем
обозначение
. (11)
Таким
образом, полученное решение (10) имеет аксиально-симметричную форму, что
является удобным в связи с тем, что начальная деформация при ударе шара по
пластине имеет также аксиальную симметрию и поэтому «случайные блуждания»
трещины в вероятностном смысле будут иметь аксиальную симметрию. Вероятность 
того, что после n шагов
трещина пройдет расстояние R имеет вид:
(12)
или
. (13)
Величина
R
является радиусом круга давления и может быть определена из соотношения
, (14)
где 
– максимальное
значение силы при ударе; H – толщина пластины; t – предел прочности материала пластины. Величина 
определяется решением
интегрального уравнения С.П. Тимошенко [11].
В случае
гибкой пластины при низкочастотном спектре собственных колебаний имеем для 
(14) [12]
, (15)
где 
– максимальное
значение ударной силы в соответствии с теорией Герца [11]; 
– массы шара и
пластины.
Считаем
все длины 
одинаковыми 
и полагаем
, (16)
на основании результатов работы [13] имеем
асимптотическое разложение
, (17)
. (18)
Здесь 
.
На
основании (17), (18) имеем
. (19)
Отсюда
. (20)
Таким
образом, находим асимптотическое представление
. (21)
Разрушение
пластины при ударе связано с объединением микротрещин в связный лабиринт трещин
– кластер с неупорядоченной фрактальной структурой [13, 14]. Разрушение
пластины происходит при выходе кластера на поверхность пластины внутри круга
давления (с радиусом R, определенным из (14)). В континуальном случае
неупорядоченного расположения микротрещин разрушение тела обуславливается
процессом формирования из микротрещин связного множества – магистральной
трещины. В этом случае образуется кластер из микротрещин. Предположение о
континуальности [13, 14] дает возможность получить методом скейлинга из асимптотики
(21) соотношение
.
Фрактальная размерность кластера микротрещины в этом
случае имеет вид
(как и должно быть 
). С учетом (15) имеем
, 
,
что является критическим значением фрактальной
размерности кластера фрактала, соответствующим образованию магистральной
трещины хрупкого разрушения. Уравнение (13) является формой кинетического
уравнения хрупкого разрушения; рассмотренная асимптотика 
соответствует
эволюции микротрещины – магистральной трещине в области «эпицентра» удара.
Магистральная трещина на границе эпицентра инициируют появление
макроскопических трещин в остальной части пластины. При этом, для описания динамики
фрактальных кластеров (вне эпицентра) следует использовать другую асимптотику
при 
. Разлагая 
в ряд, получим с
учетом (6), изображение, оригинал которого
,
является решением кинетического уравнения динамики
солитонного газа микротрещин
, (22)
описывающем диффузию микротрещин и одновременную
эволюцию микротрещин. Асимптотика при 
(t – время)
для 
имеет временной
множитель 
, где 
– наибольшее
собственное значение оператора 
; граница – край кластеров – предполагается поглощающей.
Трещина, попавшая на границу, не эволюционирует в дальнейшем. Величины 
и a очевидным
образом определяются физико-механическими параметрами задачи. При этом следует
учитывать возможность эмиграционно-иммиграционных процессов. Рост и затухание
распространения трещин – экспоненциально быстрые процессы и зависят от
соотношения между внешними (
) и внутренними параметрами (l).
Таким
образом, показано, что метод фрактального моделирования эволюции образования
макроскопических трещин при хрупком ударе шара по пластине описывается уравнением
(22). Проведенное исследование направлено на практическое решение задач
прочности лобового остекления транспортных средств при ударе твердым телом.
Литература:
1. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.– М.
Наука, 1974.– 640 с.
2. Колесников Ю. В., Морозов Е. М. Механика
контактного разрушения.– М.: Наука, 1989.– 220 с.
3. Chen S. Y.,
Farris T. N., Chandrasekar S. Contact mechanics of Hertzian cone cracking //
Int. J. Solids and Structures.– 1995.–
V. 32. N. 3/4.– P. 329–340.
4. Fischer-Cripps
A. C. The Hertzian contact surface // J. Mater. Sci.– 1999.– V. 34, N 1.– P.
129–137.
5. Smetankina N.
V., Shupikov A. N., Sotrikhin S. Yu., Yareschenko V. G. A noncanonically shape
laminated plate subjected to impact loading: Theory and experiment // Trans.
ASME. –J. Applied Mechanics.– 2008.– V. 75, N 5.– P.
051004-1–051004-9.
6. Sburlati R. An
exact solution for the impact law in thick elastic plates // Int. J. Solids and
Struct.– 2004.– V.41, N 9-10.– P. 2539–2550.
7. Borodich F. M.
Fractals and fractal scaling in fracture mechanics // Int. J. Fracture.– 1999. – V. 95. – P. 239–259.
8. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого
тела.– М.: Наука, 1979.– 744 с.
9. Гольдсмит В. Удар.– М.: Госстройиздат, 1965.– 447
с.
10. Спитцер Ф. Принципы случайного блуждания.– М.:
Мир, 1969.– 472 с.
11. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем.–
М.: Машиностроение, 1970.– 734 с.
12. Слоновский Н. В., Заика А. П. Исследование удара
шаром по круглой пластине методом интегрального уравнения С.П. Тимошенко //
Прикладная механика.– 1993.– Т. 29, № 9.– С. 47–51.
13. Смирнов Б. М. Физика фрактальных кластеров.– М.:
Наука, 1991.– 134 с.
14. Федер Е. Фракталы.– М.: Мир, 1991.– 254 с.