Касымов Е.А.

КазНТУ  им. К.И.Сатпаева, Казахстан, г.Алматы

Квадратурная формула Котеса открытого типа

Известно, что для приближенного вычисления определенного интеграла используется интерполяционный многочлен Лагранжа и неизвестные коэффициенты определяются с помощью определенного интеграла, а в этой работе предлагается новый способ определения неизвестных коэффициентов и оценка остаточного члена квадратурной формулы Котеса.

Пусть узлы интерполирования расположены так: ,

и точка   совпадает с точкой  , тогда предполагаем, что  . В этом случае узлы интерполирования не содержат точек    и  , а промежуток интерполирования разбивается этими узлами на   равных  частей. Квадратурные формулы, которые получатся в этом случае, называется формулами открытого типа.

         Предположим, что подынтегральная функция  на отрезке - имеет непрерывные производные до девятого порядка включительно.

         Определенный интеграл будем искать в виде формулы: 

           ,          (1)

где - узлы интерполирования,   известные значения функции  в узлах ,  - неизвестные  коэффициенты, подлежащие определению, - остаток квадратурной  формулы  (1), причем узлы    и  неизвестные  коэффициенты  независит от выбора подынтегральной функции из рассматриваемого класса функций.

Для определения  неизвестных коэффициентов  и оценит остаток  квадратурной формулы (1), введем новую функцию  по формуле:        

                                 .                                      (2)

         Разложим функцию  в ряд  Маклорена в точке  :

                                ,                                  (3)   

где  

Из (3) найдем производные относительно  :

     

  

     

                                                        

     (4)     

Теперь определим неизвестные коэффициенты  так, чтобы при  имели место равенства: . Тогда из  (4) будем иметь систему линейных неоднородных алгебраических уравнений с определителем Вандермонда относительно неизвестных коэффициентов :

            Отсюда  

       (5)

т.е. действительные коэффициенты   квадратурной формулы (1)  равноотстоящие от отрезков   равны между собой, причем сумма этих коэффициентов равна единице: .                                           

Таким образом, формула (2) с учетом (5) имеет вид:

             (6)         Если сопоставить формулу (2) с формулой (6), то получим:

     ,                                                                   

Следовательно, квадратурная формула (6) окончательно имеет:

                   

                  

                ,                   (7)

         Формула (7) называется квадратурной формулой Котеса открытого типа.

Если  разбить  равных с узлами    и к каждой части в отдельности применить формулу (7), то погрешность квадратурной формулы (7) можно значительно снизить. Для этого интеграл запишем в виде:

         .         (8)   

         Теперь применяем к каждому интегралу (8) формулу (7), тогда получим:

          

 

 ,    (9)                                

где                                                                   (10)

          Формула (9) с остаточным членом (10) называется обобщенной квадратурной формулой Котеса открытого типа.

Литература:

1.     Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1.,-М.; Наука, 1966, -632с.

2.     Касымов К.А., Касымов Е.А. Квадратурная формула Ньютона-Котеса //Доклады НАН РК. 2005. №1. С.47-51.

3.     Касымов Е.А. Приближенное вычисление интеграла //Известия НАН РК. Серия физ.-мат. 2005. №1(239). С.27-31.

4.     Касымов  Е.А. Квадратурная формула замкнутого типа //Вестник НАН РК. 2005. № 3 . С.44-49.

5.     Касымов Е.А. Квадратурная формула Ньютона-Котеса открытого типа //Вестник КазНПУ им.Абая. Серия физика, математика и информатика. 2005. №1(12). С.134-138.