Липовский В.И.
О РАСЧЕТЕ НАПРЯЖЕННО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ ОРТОТРОПИЕЙ СВОЙСТВ
Основные уравнения решения
задачи о напряженно деформированном состояния тел вращения с ортотропией механических
свойств получены при помощи метода конечных элементов. Решение сводится к системе алгебраических уравнений
относительно неизвестных узловых значений вектора перемещений дискретной модели:
, где
,
. Матрица жесткости
и вектор нагрузки
в цилиндрической
системе координат определяются соотношениями:
;
;
здесь ,
- соответственно
проекции массовой силы и поверхностных нагрузок, действующих по
конечному элементу, а
и
тепловая деформация и
узловая нагрузка. Матрицы
и
определяются видом
используемого конечного элемента, а матрица
видом механической
ортотропии. Для материалов с прямоугольной ортотропией механических свойств, у
которых главные направления упругости совпадают с ортами цилиндрической системы
координат, матрица упругих постоянных материала запишется:
,
где выражаются через
модули упругости первого и второго рода и коэффициент Пуассона материала:
;
;
;
;
;
.
Для различных случаев
произвольно-ориентированной ортотропии механических свойств матрица упругих
постоянных определяется при помощи допущения о постоянстве главных направлений
упругости в каждом конечном элементе дискретной модели. Ориентация главных
направлений упругости в теле задается в виде линейных участков, ориентированных
углами ,
,
по отношению к
цилиндрической системе координат. Количество линейных участков равно количеству
конечных элементов. Коэффициенты матрицы упругих постоянных вычисляются для
произвольно-ориентированной ортотропии механических свойств
при помощи суммы трех последовательных преобразований:
- поворота на угол относительно оси
;
- поворота на угол относительно оси
и поворота на угол
относительно оси
.
Каждое преобразование является независимым и характеризует различные виды
анизотропии механических свойств. Эти преобразования в матричном виде
запишутся: , где T
– матрица преобразования цилиндрической системы координат. Например, при
повороте системы координат вокруг оси
на угол
она имеет вид:
,
а коэффициенты матрицы деформаций тела с криволинейной цилиндрической ортотропией механических свойств запишутся при помощи технических характеристики следующим образом:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; остальные
равны нулю.
Задача об определении напряженно деформированного состояния в телах вращения с произвольной заданной ориентацией ортотропии механических свойств при помощи метода конечных элементов сводится к решению системы алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами матрицы деформаций по конечному элементу. Коэффициенты матрицы деформаций определяются формулами преобразования поворота главных направлений упругости ортотропного тела.