Моделирование математического паркета из пятиугольников шестого типа

К.ф.-м.н. Совертков П.И.

Сургутский государственный педагогический университет, Россия

Моделирование математического паркета из пятиугольников шестого типа

1. Постановка задачи

Для моделирования математического паркета использовались пятиугольники следующих типов: пятиугольники Рейнхардта [2], пятиугольники второго типа [5], пятиугольники третьего типа [3], пятиугольники пятого типа [4].

Рассмотрим пятиугольники шестого типа (рис. 1), удовлетворяющий условиям [1, с. 184]:

,, , (1).

Обозначим , , тогда , , . Из равнобедренного треугольника получаем , поэтому . Следовательно - прямоугольный.

Для задания пятиугольника на плоскости необходимо указать 7 геометрических параметров. Условия (1) задают пять ограничений на параметры, поэтому остается два независимых параметра.

Выберем параметры и для рассматриваемого пятиугольника и расположим пятиугольник так, чтобы прямой угол оказался в начале прямоугольной декартовой системы координат.

Используя этот пятиугольник, найдем еще три пятиугольника, которые образуют фундаментальную область для замощения окрестности точки, а затем и всей плоскости (рис. 2). Покажем, что, используя выбранные параметры, можно аналитически задать фундаментальную область.

2. Определение координат вершин пятиугольника

Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую (рис. 3), тогда координаты точек и векторов равны:

, , , , ,

, .

Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , тогда .

Рассмотрим вектор , ортогональный вектору . Из вектора образуем единичный вектор, сонаправленный с вектором , т.е.

Из прямоугольного треугольника получаем

(2)

Координаты всех вершин пятиугольника определены, поэтому такой пятиугольник можно построить на компьютере.

3. Частные случаи математического паркета

Пусть , тогда ломаная образует отрезок и пятиугольник вырождается в четырехугольник (рис. 4, 5). Около прямоугольного треугольника опишем окружность. Прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому вершина четырехугольника принадлежит окружности.

Радиус окружности равен , поэтому .

По теореме Птолемея для четырехугольника, вписанного в окружность, получаем:

Подставляя длины отрезков, получим .

Из равенства хорд и следует равенство дуг и . Вписанные углы и опираются на равные хорды, поэтому они равны и .

Для точки получаем координаты

Из формул (2) для получаем этот же результат.

Случай интересен тем, что две стороны образуют отрезок . При условии пятиугольник становится невыпуклым (рис. 6).

Пусть , тогда треугольник является равнобедренным и прямоугольным (рис. 7). Медиана является высотой. Ломаная образует отрезок . Из равнобедренного треугольника по теореме косинусов получаем

Используя формулу

, упростим выражение .

Поэтому или

Из формулы (2) для получаем этот же результат.

Рассмотрим следующий способ получения координат точки . Из треугольника по теореме синусов получаем:

, ,

Случай важен тем, что две стороны пятиугольника образуют один отрезок (рис. 8). Если , то пятиугольник становится невыпуклым (рис. 9).

4. Моделирование паркета на плоскости

Из условия следует, что окрестность точки можно замостить тремя пятиугольниками, если их расположить так, чтобы соответствующие углы оказались в одной точке.

Пусть - середина стороны (рис. 10), тогда центральная симметрия переведет точку в точку , угол в угол . Таким образом, к углу первоначального пятиугольника окажется приложенным угол, равный углу .

Аналитическое задание симметрии : ,

где - координаты точки .

Применяя симметрию , получим

Пусть - поворот вокруг точки на угол , тогда точка отображается в точку , угол в угол и окрестность точки будет окончательно замощена.

Аналитическое задание поворота

Применяя поворот, получим:

Аналитическое задание поворота

где - координаты точки .

Применяя поворот , получим:

Сформируем вначале область больших размеров, состоящую из четырех пятиугольников. Затем осуществим линейно независимые параллельные переносы этой области в двух направлениях (рис. 11).

Литература:

1. Математический цветник. /Сост. и ред. Д.А. Кларнер. М.: Мир, 1983. – 494 с.

2. Совертков П.И., Енбаева Е.Н. Равносторонний пятиугольник Рейнхардта //Математика. Приложение к 1^е сентября, 2000, № 21, с. 13, 14.

3. Совертков П.И., Куликова А.Ю. Моделирование математического паркета из пятиугольников третьего типа //Образовательные технологии, Воронеж, ВГПУ, 2005, № 4, с. 78-82.

4. Совертков П.И., Чирятьева А.А Моделирование математического паркета из пятиугольников пятого типа //Математическое моделирование и вычислительные технологии в науке и образовании, вып. 3., Сургут, СурГПУ 2006 (в печати).

5. Совертков П.И., Шрот Л.А. Моделирование математического паркета из пятиугольников и шестиугольников //Математическое моделирование и вычислительные технологии в науке и образовании, вып. 2. Сургут, СурГПИ, 2005, с. 55 – 62.